Zadanie 12b, Paper 1, listopad 2023, TZ1, Matematyka AA IB HL
Wzorowane na: Matematyka AA IB HL — listopad 2023, TZ1, Paper 1 (zadania wzorowane), pytanie 12(b). Treść, dane i kontekst są zmienione; sprawdzane umiejętności, format i punktacja jak w oryginale.
Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.
Zadanie
Wspólne informacje do wiązki zadań
Let c=cosθ and s=sinθ. This question uses the complex binomial expansion and De Moivre’s theorem to derive a trigonometric identity and an exact ratio.
Polecenie
Use De Moivre to show that . You may use the real part c5 − 10c3s2 + 5cs4 of (c + is)5.
Korepetytor
Nie wiesz, jak ruszyć? Korepetytor zna to zadanie i poprowadzi Cię krok po kroku, bez gotowca.
3 rozmowy · bez karty · Zaloguj się
Sprawdź się
Jak poszło?
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Odpowiedź z klucza
De Moivre gives (c+is)⁵=cos5θ+i sin5θ. Equating real parts, cos5θ=c⁵−10c³s²+5cs⁴. Replace s² by 1−c²: cos5θ=c⁵−10c³(1−c²)+5c(1−c²)². Expanding gives c⁵−10c³+10c⁵+5c−10c³+5c⁵=16c⁵−20c³+5c.
Schemat punktowania
A1:correct De Moivre relation. M1:equate real parts. A1:correct equality for cos5θ. M1:substitute sin²θ=1−cos²θ. A1:correct substituted expression including its squared factor. A1:correct expansion and collection proving the identity.
Komentarz. Paper 1: no calculator; AA HL formula booklet allowed. Give exact answers and show the algebra, proof or calculus requested.