Zadanie 9, Paper 2, maj 2023, TZ1, Matematyka AA IB HL
Wzorowane na: Matematyka AA IB HL — maj 2023, TZ1, Paper 2 (zadania wzorowane), pytanie 9. Treść, dane i kontekst są zmienione; sprawdzane umiejętności, format i punktacja jak w oryginale.
Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.
Zadanie
Polecenie
Prove by contradiction that p2 − 12q − 5 ≠ 0 for every pair of integers p,q.
Korepetytor
Nie wiesz, jak ruszyć? Korepetytor zna to zadanie i poprowadzi Cię krok po kroku, bez gotowca.
3 rozmowy · bez karty · Zaloguj się
Sprawdź się
Jak poszło?
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Odpowiedź z klucza
Assume instead that p²=12q+5 for integers p,q. Reducing modulo 3 would give p²≡2. Every integer p has residue 0,1 or −1 modulo 3. If p=3r, its square is 9r²≡0. If p=3r±1, its square is 9r²±6r+1≡1. Thus a square cannot have residue 2, contradicting the assumed equality. Therefore no such integers exist.
Schemat punktowania
M1:explicitly assume the contrary equality. R1:deduce its square must have residue 2 modulo 3. M1:consider the exhaustive integer residue cases. A1:squares of multiples of 3 have residue 0. A1:squares of the other two cases have residue 1. R1:state the contradiction and conclude, dependent on a valid preceding argument. The final R1 depends on all five preceding marks. The four intermediate marks can be earned even if the initial contrary assumption is omitted.
Komentarz. Paper 2: calculator and AA HL formula booklet allowed. Give exact values where requested; otherwise retain intermediate precision and use three significant figures, except the specified six-significant-figure approximations.