Zadanie 7, Paper 1, maj 2026, TZ2, Matematyka AA IB HL
Wzorowane na: Matematyka AA IB HL — maj 2026, TZ2, Paper 1 (zadania wzorowane), pytanie 7. Treść, dane i kontekst są zmienione; sprawdzane umiejętności, format i punktacja jak w oryginale.
Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.
Zadanie
Polecenie
Prove by mathematical induction that the product n(n+1)(n+2) is divisible by 6 for every positive integer n.
Korepetytor
Nie wiesz, jak ruszyć? Korepetytor zna to zadanie i poprowadzi Cię krok po kroku, bez gotowca.
3 rozmowy · bez karty · Zaloguj się
Sprawdź się
Jak poszło?
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Odpowiedź z klucza
For n=1 the product is 6. Assume k(k+1)(k+2)=6m for an integer m. At k+1, (k + 1)(k + 2)(k + 3) = k(k + 1)(k + 2) + 3(k + 1)(k + 2) = 6m + 3(k + 1)(k + 2). One of the consecutive integers k+1,k+2 is even, so (k+1)(k+2)=2q for an integer q. The new product is 6(m+q), divisible by 6. The base case and induction step establish the result for all positive integers.
Schemat punktowania
A1: verify the base case n=1. M1: explicitly assume the divisibility statement at n=k. M1: consider the product at k+1. A1: correctly express it using the assumed product. A1: isolate increment 3(k+1)(k+2). R1: explain why the increment is divisible by 6. R1: valid induction conclusion, awarded only if at least four of the preceding six marks are earned. Merely saying “n=k is true” is not an induction hypothesis. The step marks remain independently available if the hypothesis mark is lost.
Komentarz. Paper 1: no calculator; AA HL formula booklet allowed. Give exact answers and show algebraic reasoning. Valid equivalent methods earn the corresponding marks unless a specific method is required.