Zadanie 2c, Paper 3, maj 2022, TZ2, Matematyka AA IB HL
Wzorowane na: Matematyka AA IB HL — maj 2022, TZ2, Paper 3 (zadania wzorowane), pytanie 2(c). Treść, dane i kontekst są zmienione; sprawdzane umiejętności, format i punktacja jak w oryginale.
Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.
Zadanie
Wspólne informacje do wiązki zadań
A real-coefficient cubic x3 + px2 + qx + r = 0, r≠0, has nonzero roots α,β,γ. Define their reciprocals u=1/α,v=1/β,w=1/γ. Substitution x=1/z shows that u,v,w solve z3 + (q/r)z2 + (p/r)z + 1/r = 0.
Polecenie
Using (u − v)2 + (v − w)2 + (w − u)2 = 2(q2 − 3pr)/r2, prove that q²<3pr forces at least one original root α,β,γ to be nonreal.
Korepetytor
Nie wiesz, jak ruszyć? Korepetytor zna to zadanie i poprowadzi Cię krok po kroku, bez gotowca.
3 rozmowy · bez karty · Zaloguj się
Sprawdź się
Jak poszło?
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Odpowiedź z klucza
Since r²>0, q²<3pr makes the sum of squared differences negative. If all original roots were real and nonzero, their reciprocals would be real and every square nonnegative, a contradiction.
Schemat punktowania
A1:the displayed sum is negative under the condition. R1:real original roots would give nonnegative squared reciprocal differences, a contradiction; this reasoning mark depends on the first step. Condone a strict positive inequality in the real-square comparison.
Komentarz. Paper 3: graphic display calculator and AA HL formula booklet allowed. Show proof and algebra where requested. Give exact values when requested, otherwise three significant figures. Credit valid alternative methods and appropriate follow-through.