Zadanie 2f, Paper 3, maj 2022, TZ2, Matematyka AA IB HL
Wzorowane na: Matematyka AA IB HL — maj 2022, TZ2, Paper 3 (zadania wzorowane), pytanie 2(f). Treść, dane i kontekst są zmienione; sprawdzane umiejętności, format i punktacja jak w oryginale.
Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.
Zadanie
Polecenie
A real quartic x4 + px3 + qx2 + rx + s = 0, s≠0, has nonzero roots α,β,γ,δ. Their reciprocals u,v,w,z satisfy u+v+w+z=−r/s and uv+uw+uz+vw+vz+wz=q/s. (i) Express u²+v²+w²+z² in terms of q,r,s. (ii) Hence state a sufficient inequality in q,r,s for the original quartic to have a nonreal root.
Korepetytor
Nie wiesz, jak ruszyć? Korepetytor zna to zadanie i poprowadzi Cię krok po kroku, bez gotowca.
3 rozmowy · bez karty · Zaloguj się
Sprawdź się
Jak poszło?
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Odpowiedź z klucza
(i) Expand the square of the reciprocal sum and subtract twice the pair sum: u²+v²+w²+z²=r²/s²−2q/s=(r²−2qs)/s². (ii) If r²<2qs, this sum is negative. Real original roots would have real reciprocals and nonnegative squared sum, so at least one root must be nonreal.
Schemat punktowania
(i) M1:expand the squared sum. A1:subtract twice the correct pair sum. A1:(r²−2qs)/s². (ii) A1:r²<2qs; follow through a valid analogous sufficient condition from their expression.
Komentarz. Paper 3: graphic display calculator and AA HL formula booklet allowed. Show proof and algebra where requested. Give exact values when requested, otherwise three significant figures. Credit valid alternative methods and appropriate follow-through.