Zadanie 2b, Paper 3, maj 2022, TZ2, Matematyka AA IB HL
Wzorowane na: Matematyka AA IB HL — maj 2022, TZ2, Paper 3 (zadania wzorowane), pytanie 2(b). Treść, dane i kontekst są zmienione; sprawdzane umiejętności, format i punktacja jak w oryginale.
Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.
Zadanie
Wspólne informacje do wiązki zadań
A real-coefficient cubic x3 + px2 + qx + r = 0, r≠0, has nonzero roots α,β,γ. Define their reciprocals u=1/α,v=1/β,w=1/γ. Substitution x=1/z shows that u,v,w solve z3 + (q/r)z2 + (p/r)z + 1/r = 0.
Polecenie
You may use u+v+w=−q/r and uv+vw+wu=p/r. (i) Show that u2 + v2 + w2 = (q2 − 2pr)/r2. (ii) Hence show that (u − v)2 + (v − w)2 + (w − u)2 = 2(q2 − 3pr)/r2.
Korepetytor
Nie wiesz, jak ruszyć? Korepetytor zna to zadanie i poprowadzi Cię krok po kroku, bez gotowca.
3 rozmowy · bez karty · Zaloguj się
Sprawdź się
Jak poszło?
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Odpowiedź z klucza
(i) Expand (u+v+w)²=u²+v²+w²+2(uv+vw+wu). Thus the sum of squares is q²/r²−2p/r=(q²−2pr)/r². (ii) Expand the three squared differences to 2(u²+v²+w²)−2(uv+vw+wu). Substitute part (i) and p/r to obtain 2(q²−2pr)/r²−2p/r=2(q²−3pr)/r².
Schemat punktowania
(i) A1:substitute the sum/product relations into the intended identity. M1:expand the squared sum. A1:correct cancellation and common denominator. (ii) M1:expand squared differences or the target. A1:correct expanded expression. A1:substitution/simplification proving the result. Accept algebra from either side, or expansion of both sides to the same expression, with the corresponding method and accuracy marks.
Komentarz. Paper 3: graphic display calculator and AA HL formula booklet allowed. Show proof and algebra where requested. Give exact values when requested, otherwise three significant figures. Credit valid alternative methods and appropriate follow-through.