Zadanie 1f, Paper 3, listopad 2025, TZ3, Matematyka AA IB HL
Wzorowane na: Matematyka AA IB HL — listopad 2025, TZ3, Paper 3 (zadania wzorowane), pytanie 1(f). Treść, dane i kontekst są zmienione; sprawdzane umiejętności, format i punktacja jak w oryginale.
Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.
Zadanie
Wspólne informacje do wiązki zadań
For positive integers n, define and on 0 ≤ x ≤ 2π. The inverse tangent takes values in (−π/2, π/2). In products with no factors the value is 1.
Polecenie
Use mathematical induction to prove for all positive integers n.
Korepetytor
Nie wiesz, jak ruszyć? Korepetytor zna to zadanie i poprowadzi Cię krok po kroku, bez gotowca.
3 rozmowy · bez karty · Zaloguj się
Sprawdź się
Jak poszło?
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Odpowiedź z klucza
Base n=1: the empty product is 1, so the right side is cosx=F₁′. Assume the formula holds for a fixed integern=j≥1. Since Fⱼ₊₁=arctanFⱼ, chain rule gives Fⱼ₊₁′=Fⱼ′/(1+Fⱼ²). Substitute the inductive hypothesis and append the new factor, obtaining cosx·∏ₖ₌₁ʲ(1+Fₖ²)⁻¹. This is precisely the formula for n=j+1. The base case and implication establish it for all positive integers.
Schemat punktowania
A1: verify base case including the empty-product convention. M1: explicitly assume the formula true for an arbitrary fixedj. M1: use the recurrence for Fⱼ₊₁. A1: differentiate it correctly. A1: substitute the hypothesis to produce the j-factor product. R1: conclude by induction, awarded only with at least three of the preceding five marks.
Komentarz. Paper 3: calculator and AA HL formula booklet allowed. Use radians. Retain unrounded intermediate values; provide the requested precision and full proof reasoning.