Matematyka AA IB HL — listopad 2025, TZ3, Paper 3 (zadania wzorowane)

Zadania wzorowane na pytaniach z tego arkusza: te same umiejętności, format i punktacja, inne dane i kontekst. Treści arkusza IB nie publikujemy.

W bazie 16 zadań z tego arkusza, razem 55 punktów, każde z kluczem i schematem punktowania.

IB Mathematics AA (egzaminy od 2021) · 16 zad. w bazie

Rozwiąż arkuszwynik na końcuDodaj cały arkusz do zestawu

Matematyka AA IBPaper 3, listopad 2025, TZ3wzorowane4 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 1a

On the same axes, sketch and label y=F₁(x) and y=F₂(x), showing all axis intercepts.

Matematyka AA IBPaper 3, listopad 2025, TZ3wzorowane3 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 1b

Find the maximum values of (i) F₁; (ii) F₂; (iii) F₃.

Matematyka AA IBPaper 3, listopad 2025, TZ3wzorowane3 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 1c

Find the least positive integer n for which the maximum of Fₙ is less than 0.45.

Matematyka AA IBPaper 3, listopad 2025, TZ3wzorowane6 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 1d

By solving F₂′(x) = 0, prove that F₂ has exactly two stationary points on the stated domain, at x = π/2 and x = 3π/2.

Matematyka AA IBPaper 3, listopad 2025, TZ3wzorowane1 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 1e

The derivative can be written $F_n\prime(x)=\cos x\prod_{k=1}^{n-1}[1+F_k(x)^2]^{-1}$ . Use this formula to express F₃′ entirely in terms of x.

Matematyka AA IBPaper 3, listopad 2025, TZ3wzorowane6 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 1f

Use mathematical induction to prove $F_n\prime(x)=\cos x\prod_{k=1}^{n-1}[1+F_k(x)^2]^{-1}$ for all positive integers n.

Matematyka AA IBPaper 3, listopad 2025, TZ3wzorowane3 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 1g

For each fixed positive integer n, use l’Hôpital’s rule to prove $\lim_{x\to0^+}F_n(x)/x=1$ .

Matematyka AA IBPaper 3, listopad 2025, TZ3wzorowane2 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 2a

For |x|<1, find the sum to infinity of 1 − x² + x⁴ − x⁶ + ⋯.

Matematyka AA IBPaper 3, listopad 2025, TZ3wzorowane3 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 2b

Hence use integration to establish $\arctan x=x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+\cdots$ for |x|<1.

Matematyka AA IBPaper 3, listopad 2025, TZ3wzorowane3 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 2c

Use the first three nonzero terms of the arctan series at x=a to approximate π, to three decimal places.

Matematyka AA IBPaper 3, listopad 2025, TZ3wzorowane3 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 2d

Find the smallest number N of nonzero arctan terms giving an absolute error less than 10⁻⁵ when approximating arctan a. Use the alternating-series bound or directly compare the actual errors.

Matematyka AA IBPaper 3, listopad 2025, TZ3wzorowane4 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 2e

Use integration by parts to show that I = (1 + a²)π/8 − a.

Matematyka AA IBPaper 3, listopad 2025, TZ3wzorowane2 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 2f

Evaluate $J=\int_0^a2xT_4(x)\,dx$ to six decimal places.

Matematyka AA IBPaper 3, listopad 2025, TZ3wzorowane2 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 2g

Using I = (1 + a²)π/8 − a and the approximation $I\approx\int_0^a2xT_4(x)\,dx$ , estimate π to four decimal places.

Matematyka AA IBPaper 3, listopad 2025, TZ3wzorowane5 pktobliczeniowetrudne (szac.)

The approximation $J=\int_0^a2xT_4(x)\,dx$ is a sum of four alternating integrated terms. Verify numerically that its actual absolute error in approximating I is no greater than the next integrated term.

Matematyka AA IBPaper 3, listopad 2025, TZ3wzorowane5 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 2i

Find the smallest N for which $\left|I-\int_0^a2xT_N(x)\,dx\right|\leq10^{-8}$ . Use the alternating-series bound or directly compare the actual errors.