Zadanie 1g, Paper 3, listopad 2025, TZ3, Matematyka AA IB HL
Wzorowane na: Matematyka AA IB HL — listopad 2025, TZ3, Paper 3 (zadania wzorowane), pytanie 1(g). Treść, dane i kontekst są zmienione; sprawdzane umiejętności, format i punktacja jak w oryginale.
Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.
Zadanie
Wspólne informacje do wiązki zadań
For positive integers n, define and on 0 ≤ x ≤ 2π. The inverse tangent takes values in (−π/2, π/2). In products with no factors the value is 1.
Polecenie
For each fixed positive integer n, use l’Hôpital’s rule to prove .
Korepetytor
Nie wiesz, jak ruszyć? Korepetytor zna to zadanie i poprowadzi Cię krok po kroku, bez gotowca.
3 rozmowy · bez karty · Zaloguj się
Sprawdź się
Jak poszło?
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Odpowiedź z klucza
The recurrence gives Fₖ(0)=0 for every k, so the ratio has form 0/0. Differentiate numerator and denominator: the limit islimₓ→₀₊Fₙ′(x)=limₓ→₀₊[cosx·∏ₖ₌₁ⁿ⁻¹(1+Fₖ(x)²)⁻¹]. Continuity gives cos0=1 and every factor =1. For fixed finite n the product limit is 1, as required.
Schemat punktowania
M1: apply l’Hôpital by differentiating numerator and denominator. A1: correct derivative-product limit. A1: evaluate all factors at zero to establish 1. Omitting limit notation throughout caps at 2/3.
Komentarz. Paper 3: calculator and AA HL formula booklet allowed. Use radians. Retain unrounded intermediate values; provide the requested precision and full proof reasoning.