Zadanie 2d, Paper 3, listopad 2025, TZ3, Matematyka AA IB HL
Wzorowane na: Matematyka AA IB HL — listopad 2025, TZ3, Paper 3 (zadania wzorowane), pytanie 2(d). Treść, dane i kontekst są zmienione; sprawdzane umiejętności, format i punktacja jak w oryginale.
Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.
Zadanie
Wspólne informacje do wiązki zadań
Let and . Define . You may use this theorem: for an alternating series whose term magnitudes decrease to zero, the absolute error after finitely many terms is at most the magnitude of the next term.
Polecenie
Find the smallest number N of nonzero arctan terms giving an absolute error less than 10⁻⁵ when approximating arctan a. Use the alternating-series bound or directly compare the actual errors.
Korepetytor
Nie wiesz, jak ruszyć? Korepetytor zna to zadanie i poprowadzi Cię krok po kroku, bez gotowca.
3 rozmowy · bez karty · Zaloguj się
Sprawdź się
Jak poszło?
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Odpowiedź z klucza
AfterN terms the bound is a^(2N+1)/(2N+1). At N=4 it is 3.988194429×10⁻⁵, while at N=5 it is 5.598539880×10⁻⁶. These bounds decrease with N because 0<a<1. Therefore the least guaranteed count is 5. This concerns the error in arctana, without the factor 8 used when approximating π. Alternatively the actual absolute errors for N=4 and 5 are 3.4991191083×10⁻⁵ and 4.8907532081×10⁻⁶, so the smallest count is 5. Error magnitudes decrease with N, as follows from the finite geometric remainder integral ∫₀ᵃt^(2N)/(1+t²)dt.
Schemat punktowania
M1: identify the next omitted term as the bound. M1: solve the inequality or check consecutive counts. A1:N=5. Equivalent actual-error route: M1 evaluate arctan(a)−T_N(a) in absolute value; M1 compare errors at consecutive counts; A1 smallest N=5. No separate analytic monotonicity proof is required for full marks, matching the source numerical route.
Komentarz. Paper 3: calculator and AA HL formula booklet allowed. Use radians. Retain unrounded intermediate values; provide the requested precision and full proof reasoning.