Convert complex representations and carry out operations using forms suited to the calculation or geometric interpretation.
Tę umiejętność sprawdza 29 zadań wzorowanych na arkuszach IB z lat 2022–2026.
Matematyka AA IB Paper 3, maj 2026, TZ1 wzorowane 3 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
First take a=6, b=0. Find all possible z when (i) z is real; (ii) z is purely imaginary; (iii) arg z = π / 3 \arg z=\pi/3 arg z = π /3 .
Matematyka AA IB Paper 3, maj 2026, TZ1 wzorowane 3 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
Now let r = 6 cos θ r=6\cos\theta r = 6 cos θ , −π /2 ≤ θ ≤ π /2 . (i) State the maximum r. (ii) Find z at that maximum.
Matematyka AA IB Paper 3, maj 2026, TZ1 wzorowane 4 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
Use the coordinate identities to show that every point of r = 6 cos θ r=6\cos\theta r = 6 cos θ , −π /2 ≤ θ ≤ π /2 , satisfies (x − 3)2 + y 2 = 9 .
Matematyka AA IB Paper 3, maj 2026, TZ1 wzorowane 5 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
Finally take r = 6 + 6 cos θ r=6+6\cos\theta r = 6 + 6 cos θ , 0 ≤ θ ≤ 2π . Derive d y d x = cos θ + 2 cos 2 θ − 1 − sin θ ( 1 + 2 cos θ ) \frac{dy}{dx}=\frac{\cos\theta+2\cos^2\theta-1}{-\sin\theta(1+2\cos\theta)} d x d y = − s i n θ ( 1 + 2 c o s θ ) c o s θ + 2 c o s 2 θ − 1 wherever the denominator is nonzero.
Matematyka AA IB Paper 1, maj 2026, TZ2 wzorowane 6 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
Solve Q(z)=0, giving the roots (i) in Cartesian form; (ii) in modulus–argument form.
Matematyka AA IB Paper 1, maj 2025, TZ1 wzorowane 4 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
Hence find (i) Re ( w ) \operatorname{Re}(w) Re ( w ) and (ii) Re ( 1 / w ) \operatorname{Re}(1/w) Re ( 1/ w ) . Express each as p cos ( ln q ) p\cos(\ln q) p cos ( ln q ) with positive rational p , q .
Matematyka AA IB Paper 2, maj 2025, TZ1 wzorowane 2 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
Show that h ( t ) = Im [ e 3 t i ( e 0.4 i + e 2.2 i ) ] h(t)=\operatorname{Im}\left[e^{3ti}(e^{0.4i}+e^{2.2i})\right] h ( t ) = Im [ e 3 t i ( e 0.4 i + e 2.2 i ) ] .
Matematyka AA IB Paper 2, maj 2025, TZ1 wzorowane 2 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
Express e 0.4i + e 2.2i as r e i θ , where r > 0 and −π < θ ≤ π .
Matematyka AA IB Paper 2, maj 2025, TZ1 wzorowane 3 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
Hence or otherwise express h (t ) as p sin ( 3 t + q ) p\sin(3t+q) p sin ( 3 t + q ) , with p > 0 and 0 < q < 2π .
Matematyka AA IB Paper 1, maj 2025, TZ3 wzorowane 3 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
Express z 1 as r e i θ , with r > 0 and −π < θ ≤ π .
Matematyka AA IB Paper 1, maj 2025, TZ2 wzorowane 4 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
Solve z 2 = 4 + 4 3 i z^2=4+4\sqrt3\,i z 2 = 4 + 4 3 i , expressing both answers as r ( cos θ + i sin θ ) r(\cos\theta+i\sin\theta) r ( cos θ + i sin θ ) .
Matematyka AA IB Paper 1, maj 2025, TZ2 wzorowane 4 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
(i) Find 1/z 1 in Cartesian form. (ii) Hence deduce the area of the convex quadrilateral whose vertices represent 1/z 1 , 1/z 2 , 1/z 3 , 1/z 4 .
Matematyka AA IB Paper 1, maj 2025, TZ3 wzorowane 7 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
For real p, suppose arg ( z + p z − 2 ) = − π / 4 \arg\left(\frac{z+p}{z-2}\right)=-\pi/4 arg ( z − 2 z + p ) = − π /4 , where the quotient is defined and nonzero. Show that x 2 + y 2 + (p − 2)x − (p + 2)y − 2p = 0.
Matematyka AA IB Paper 1, listopad 2025, TZ1 wzorowane 3 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
Find (i) |w|; (ii) arg w.
Matematyka AA IB Paper 1, listopad 2025, TZ3 wzorowane 6 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
(i) Express w as r e i α , with r>0 and principal argument α. (ii) Use De Moivre’s theorem to show that ( 3 + i ) 10 + ( 3 − i ) 10 = 1024 (\sqrt3+i)^{10}+(\sqrt3-i)^{10}=1024 ( 3 + i ) 10 + ( 3 − i ) 10 = 1024 .
Matematyka AA IB Paper 2, maj 2024, TZ2 wzorowane 7 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
Show that (i) arg z = π / 2 − θ \arg z=\pi/2-\theta arg z = π /2 − θ ; (ii) ∣ z ∣ = 2 sin θ |z|=2\sin\theta ∣ z ∣ = 2 sin θ .
Matematyka AA IB Paper 1, maj 2024, TZ1 wzorowane 3 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
Find the area of triangle UVW.
Matematyka AA IB Paper 1, listopad 2024 wzorowane 3 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
The ordered roots form a geometric sequence. Find its common ratio in Cartesian form.
Matematyka AA IB Paper 1, listopad 2024 wzorowane 3 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
Plot A,B,C on an Argand diagram, labelling the axes and points.
Matematyka AA IB Paper 2, maj 2023, TZ1 wzorowane 3 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
Describe one geometric transformation taking the point z to z^7 in the Argand plane.
Matematyka AA IB Paper 1, maj 2023, TZ2 wzorowane 3 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
Find the modulus and argument of u, hence show that u=2e^(iπ/3).
Matematyka AA IB Paper 1, maj 2022, TZ1 wzorowane 3 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
Hence find b when arg ( z 1 z 2 ) = − π / 3 \arg(z_1z_2)=-\pi/3 arg ( z 1 z 2 ) = − π /3 .
Matematyka AA IB Paper 1, maj 2022, TZ2 wzorowane 2 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
Show that z 1 z 2 ‾ = r 1 r 2 e i ( α − θ ) z_1\overline{z_2}=r_1r_2e^{i(\alpha-\theta)} z 1 z 2 = r 1 r 2 e i ( α − θ ) .
Matematyka AA IB Paper 1, maj 2022, TZ2 wzorowane 2 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
Given Re ( z 1 z 2 ‾ ) = 0 \operatorname{Re}(z_1\overline{z_2})=0 Re ( z 1 z 2 ) = 0 , show that triangle Z₁OZ₂ is right-angled.
Matematyka AA IB Paper 1, maj 2022, TZ2 wzorowane 6 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
For the stated isosceles 120° triangle, (i) express z₁ in terms of z₂; (ii) hence show that z 1 2 + z 2 2 = −z 1 z 2 .
Matematyka AA IB Paper 1, maj 2022, TZ2 wzorowane 3 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
Now consider z 2 + a z + 16 = 0. You may use a²=b for the 120° configuration. Deduce that the argument restriction 0<α−θ<π permits only one such triangle.
Matematyka AA IB Paper 1, listopad 2022 wzorowane 3 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
(i) Find arg z 0 \arg z_0 arg z 0 . (ii) Give arg z n \arg z_n arg z n in terms of n.
Matematyka AA IB Paper 1, listopad 2022 wzorowane 5 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
(i) Prove arctan a + arctan b = arctan ( ( a + b ) / ( 1 − a b ) ) \arctan a+\arctan b=\arctan((a+b)/(1-ab)) arctan a + arctan b = arctan (( a + b ) / ( 1 − ab )) for a,b>0 with ab<1. (ii) Hence or otherwise show that arg w 1 = arctan 4 \arg w_1=\arctan4 arg w 1 = arctan 4 .
Matematyka AA IB Paper 1, listopad 2022 wzorowane 10 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
Prove by mathematical induction that arg w n = arctan ( ( n + 1 ) 2 ) \arg w_n=\arctan((n+1)^2) arg w n = arctan (( n + 1 ) 2 ) for every integer n≥0. You may use arctan a + arctan b = arctan ( ( a + b ) / ( 1 − a b ) ) \arctan a+\arctan b=\arctan((a+b)/(1-ab)) arctan a + arctan b = arctan (( a + b ) / ( 1 − ab )) when a,b>0 and ab<1.