Zadanie 12a, Paper 1, maj 2024, TZ2, Matematyka AA IB HL
Wzorowane na: Matematyka AA IB HL — maj 2024, TZ2, Paper 1 (zadania wzorowane), pytanie 12(a). Treść, dane i kontekst są zmienione; sprawdzane umiejętności, format i punktacja jak w oryginale.
Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.
Zadanie
Wspólne informacje do wiązki zadań
Let fa(x) = (1 − ax)−3/2 for real a≠0 and ax<1. Write fa(n) for its nth derivative. This investigation uses derivatives at zero to construct a power-series approximation.
Polecenie
Prove by induction that for every positive integer n, .
Korepetytor
Nie wiesz, jak ruszyć? Korepetytor zna to zadanie i poprowadzi Cię krok po kroku, bez gotowca.
3 rozmowy · bez karty · Zaloguj się
Sprawdź się
Jak poszło?
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Odpowiedź z klucza
For n=1, differentiation gives (3a/2)(1 − ax)−5/2, matching a3!/(221!). Assume the formula true at n=k≥1. Differentiation multiplies its coefficient by a(2k + 3)/2 and lowers the exponent by 1. The resulting coefficient is ak+1(2k + 3)(2k + 1)!/[22k+1k!]. Multiplying numerator and denominator by 2k+2 rewrites it as ak+1(2k + 3)!/[22k+2(k + 1)!], and the exponent is −(2k + 5)/2. This is the claimed formula for k+1. The verified base and induction implication prove it for all positive n.
Schemat punktowania
A1: correct first derivative. R1: explicitly verify it agrees with the n=1 formula. M1: state the truth assumption at n=k. M1: differentiate the assumed expression. A1: correct chain-rule factor and exponent. M1: manipulate the factorial coefficient toward the k+1 form. A1: obtain that exact form. R1: valid induction conclusion, requiring at least five preceding marks and a genuine base/step argument.
Komentarz. Paper 1: no calculator. The AA HL formula booklet is allowed. Give exact answers and show the reasoning.