Zadanie 7c, Paper 1, maj 2024, TZ2, Matematyka AA IB HL
Wzorowane na: Matematyka AA IB HL — maj 2024, TZ2, Paper 1 (zadania wzorowane), pytanie 7(c). Treść, dane i kontekst są zmienione; sprawdzane umiejętności, format i punktacja jak w oryginale.
Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.
Zadanie
Wspólne informacje do wiązki zadań
The cubic g(x) = 3x3 − 11x2 + dx − e has three real roots α, β, γ. The real-coefficient polynomial h(z) = 3z5 − 23z4 + rz3 + sz2 + tz + 24 has these same three roots and also a root p + 2i, where p is real.
Polecenie
It is further given that h(−1/3) = 0 and α, β are positive integers with α < β. (i) Show that αβ = 3. (ii) Find α and β.
Korepetytor
Nie wiesz, jak ruszyć? Korepetytor zna to zadanie i poprowadzi Cię krok po kroku, bez gotowca.
3 rozmowy · bez karty · Zaloguj się
Sprawdź się
Jak poszło?
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Odpowiedź z klucza
The third real root must be γ=−1/3. With p=2, the complex pair has product (2 + 2i)(2 − 2i) = 8. The five-root product is −24/3=−8. Thus αβ(−1/3)8 = −8, so αβ = 3. The ordered positive integer pair is α=1, β=3, also consistent with their sum 4.
Schemat punktowania
(i) M1: relate the five-root product to −8. A1: establish αβ=3 using the conjugate product and γ. (ii) A1: α=1, β=3. The first M1 also applies to an attempted five-root product equated to +8 instead of −8; the subsequent accuracy mark still requires the correct result.
Komentarz. Paper 1: no calculator. The AA HL formula booklet is allowed. Give exact answers and show the reasoning.