Zadanie 2d, Paper 3, maj 2022, TZ1, Matematyka AA IB HL
Wzorowane na: Matematyka AA IB HL — maj 2022, TZ1, Paper 3 (zadania wzorowane), pytanie 2(d). Treść, dane i kontekst są zmienione; sprawdzane umiejętności, format i punktacja jak w oryginale.
Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.
Zadanie
Wspólne informacje do wiązki zadań
Let g(x) = (x − r)2[(x − a)2 + b2], where r,a are real and b>0. The complex equation g(z)=0 has a repeated real root r and a pair of nonreal roots. Write A=(a,g(a)). For parts 2a–2c use r=−1,a=2,b=2 and call this particular function f.
Polecenie
Assume a≠r. (i) Show that g′(x) = 2(x − r)[(x − a)2 + b2] + 2(x − r)2(x − a). (ii) Hence, or otherwise, prove that the tangent at A meets the x-axis at T = ((a + r)/2, 0).
Korepetytor
Nie wiesz, jak ruszyć? Korepetytor zna to zadanie i poprowadzi Cię krok po kroku, bez gotowca.
3 rozmowy · bez karty · Zaloguj się
Sprawdź się
Jak poszło?
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Odpowiedź z klucza
(i) Use the product rule, differentiating each factor. (ii) At a, g(a)=(a−r)²b² and g′(a)=2(a−r)b². The tangent is y−(a−r)²b²=2(a−r)b²(x−a), or y=2(a−r)b²[x−(a+r)/2]. Setting y=0 gives x=(a+r)/2 because a≠r and b>0 make the other factor nonzero.
Schemat punktowania
(i) M1:product rule or expand and differentiate. A1:correct derivative leading to the target. (ii) A1:g(a). A1:g′(a). M1:point-slope tangent. A1:correct simplified equation. M1:set y=0. R1:nonzero coefficient permits division, proving T. Other complete valid proofs of the same tangent intercept receive corresponding method and reasoning marks; equivalent slope-intercept algebra is accepted.
Komentarz. Paper 3: graphic display calculator and AA HL formula booklet allowed. Proofs require reasoning, not isolated numerical checks. Credit valid alternative methods and follow-through unless inconsistent with a supplied result.