Zadanie 11d, Paper 1, listopad 2025, TZ3, Matematyka AA IB HL
Wzorowane na: Matematyka AA IB HL — listopad 2025, TZ3, Paper 1 (zadania wzorowane), pytanie 11(d). Treść, dane i kontekst są zmienione; sprawdzane umiejętności, format i punktacja jak w oryginale.
Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.
Zadanie
Wspólne informacje do wiązki zadań
This investigation connects conjugate complex powers with exact trigonometric values. You may use for positive integers n whenever . Let .
Polecenie
Expand (1 + z)6 + (1 − z)6 and use its roots to prove .
Korepetytor
Nie wiesz, jak ruszyć? Korepetytor zna to zadanie i poprowadzi Cię krok po kroku, bez gotowca.
3 rozmowy · bez karty · Zaloguj się
Sprawdź się
Jak poszło?
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Odpowiedź z klucza
The sum is 2(1+15z²+15z⁴+z⁶). Since z=i tan(π/12) is a root (cos6θ=cosπ/2=0), put t=tan(π/12). Then 1−15t²+15t⁴−t⁶=0, or (1−t²)(t⁴−14t²+1)=0. Hence t²=1 or t²=7±4√3. As 0<π/12<π/4, we have 0<t<1, so t²=7−4√3. Since (2−√3)²=7−4√3 and 2−√3>0, t=2−√3.
Schemat punktowania
M1: attempt binomial expansion. A1: correct even-power polynomial. M1: attempt to factor or solve the resulting cubic in z² or t², including reduction to a quadratic. A1: t²=1,7±4√3 or equivalent z² values. M1: substitute or identify the particular root z=i tan(π/12). A1: correct positive square-root simplification √(7−4√3)=2−√3. R1: justify selecting that root using 0<tan(π/12)<1. The marks may be earned in any valid order; equivalent algebraic routes are accepted. No repeated classification of all six complex roots is required.
Komentarz. Paper 1: no calculator. AA HL formula booklet allowed. Give exact answers and show working for method and proof marks.