Zadanie 12g, Paper 1, maj 2024, TZ1, Matematyka AA IB HL
Wzorowane na: Matematyka AA IB HL — maj 2024, TZ1, Paper 1 (zadania wzorowane), pytanie 12(g). Treść, dane i kontekst są zmienione; sprawdzane umiejętności, format i punktacja jak w oryginale.
Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.
Zadanie
Wspólne informacje do wiązki zadań
Let ϕ = (a + bi)3, with a,b real. The roots of z3 = 27 are u,v,w, where and v is real. Their Argand points are U,V,W. Rotate these points anticlockwise about 0 through π/9 to obtain U′,V′,W′, representing u′,v′,w′.
Polecenie
All six numbers u,v,w,u′,v′,w′ satisfy zⁿ=α for one common complex α and a positive integer n. Find the smallest n.
Korepetytor
Nie wiesz, jak ruszyć? Korepetytor zna to zadanie i poprowadzi Cię krok po kroku, bez gotowca.
3 rozmowy · bez karty · Zaloguj się
Sprawdź się
Jak poszło?
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Odpowiedź z klucza
All have modulus 3. Original root arguments differ by 2π/3, son must be divisible by 3. A root and its rotated counterpart differ by π/9, son π/9 must be a multiple of 2π; hence 18 dividesn. The smallest such positive integer is 18, which also meets the first condition. All six then have 18th power 3¹⁸.
Schemat punktowania
M1:compare argument differences or express all arguments with a common denominator. A1:derive the necessary spacing π/9 or divisibility 18 (together with the original 3-fold condition). A1:least n=18.
Komentarz. Paper 1: no calculator. AA HL formula booklet allowed. Give exact values and show method and proof steps.