Zadanie 8b, Paper 1, listopad 2023, TZ1, Matematyka AA IB SL
Wzorowane na: Matematyka AA IB SL — listopad 2023, TZ1, Paper 1 (zadania wzorowane), pytanie 8(b). Treść, dane i kontekst są zmienione; sprawdzane umiejętności, format i punktacja jak w oryginale.
Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.
Zadanie
Wspólne informacje do wiązki zadań
Let f(x) = ln(3x − 6) for x>2 and g(x) = 2ln x − ln d for x>0, where d>0. Their graphs intersect at two distinct abscissas p<q.
Polecenie
(i) Show that intersection abscissas satisfy x2 − 3dx + 6d = 0. (ii) Hence show that 9d2 − 24d > 0. (iii) Find the possible values of d.
Korepetytor
Nie wiesz, jak ruszyć? Korepetytor zna to zadanie i poprowadzi Cię krok po kroku, bez gotowca.
3 rozmowy · bez karty · Zaloguj się
Sprawdź się
Jak poszło?
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Odpowiedź z klucza
(i) Equate ln(3x−6)=2lnx−lnd. Log laws give ln(3x−6)=ln(x²/d), so d(3x−6)=x² and the target quadratic follows. (ii) Two distinct roots require discriminant (−3d)²−4(6d)=9d²−24d>0. (iii) Since d>0,3d(3d−8)>0 gives d>8/3. Both roots are then in x>2: the smaller is (3d−√(9d²−24d))/2>2 because 3d−4>0 and (3d−4)²−(9d²−24d)=16>0. Thus no spurious intersections arise from logarithm domains.
Schemat punktowania
(i) M1:equate the functions. M1:use the logarithm power rule. M1:combine the logarithms by a quotient/product rule. A1:correct equality without logs, implying the supplied quadratic. (ii) A1:correct discriminant. M1:require it positive. A1:correct strict inequality establishing the target. (iii) M1:solve the sign inequality. A1:d>8/3 using d>0. A separate domain proof is not required for the full mark cap, but claimed extra invalid values lose the final accuracy mark.
Komentarz. Paper 1: no calculator; AA SL formula booklet allowed. Give exact answers and show the algebra, proof or calculus requested.