Zadanie 4, Paper 1, listopad 2024, TZ2, Matematyka AA IB SL
Wzorowane na: Matematyka AA IB SL — listopad 2024, TZ2, Paper1 (zadania wzorowane), pytanie 4. Treść, dane i kontekst są zmienione; sprawdzane umiejętności, format i punktacja jak w oryginale.
Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.
Zadanie
Polecenie
Prove that (5n + 3)2 − (5n − 3)2 is divisible by 30 for every positive integer n.
Korepetytor
Nie wiesz, jak ruszyć? Korepetytor zna to zadanie i poprowadzi Cię krok po kroku, bez gotowca.
3 rozmowy · bez karty · Zaloguj się
Sprawdź się
Jak poszło?
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Odpowiedź z klucza
Difference of squares gives [(5n + 3) − (5n − 3)][(5n + 3) + (5n − 3)] = 6(10n) = 60n = 30(2n). Since 2n is an integer, the expression is divisible by 30. Expanding both squares gives the same result. An induction proof can instead use value 60 at n=1 and an increment of 60 between consecutive n.
Schemat punktowania
M1: valid expansion or difference-of-squares factorization. A1: correct intermediate terms/factors. A1: simplify to 60n. R1: express as 30 times the integer 2n and conclude divisibility, dependent on both accuracy marks. Induction alternative: A1 for the base, M1 for the truth assumption, A1 for the valid step adding a multiple of 30, R1 for the induction conclusion.
Komentarz. Paper 1: no calculator. The AA SL formula booklet is allowed. Give exact answers and show the reasoning.