Zadanie 7c, Paper 2, listopad 2023, TZ2, Matematyka AA IB SL
Wzorowane na: Matematyka AA IB SL — listopad 2023, TZ2, Paper 2 (zadania wzorowane), pytanie 7(c). Treść, dane i kontekst są zmienione; sprawdzane umiejętności, format i punktacja jak w oryginale.
Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.
Zadanie
Wspólne informacje do wiązki zadań
A closed canister consists of a circular cylinder of radius x>0 cm and height h>0 cm, one hemispherical dome of radius x on top, and one flat circular bottom. The cylindrical part alone has volume 54 cm³. Let S be the total external surface area, including the flat bottom but excluding the internal seam.
Polecenie
For S(x) = 108/x + 3πx2 and a = (18/π)1/3: (i) find S″(x); (ii) use S″ to justify a minimum at a; (iii) find the minimum area.
Korepetytor
Nie wiesz, jak ruszyć? Korepetytor zna to zadanie i poprowadzi Cię krok po kroku, bez gotowca.
3 rozmowy · bez karty · Zaloguj się
Sprawdź się
Jak poszło?
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Odpowiedź z klucza
(i) S″=216/x³+6π. (ii) At a, S″(a)=216/(18/π)+6π=18π>0, so S has a minimum. Indeed S″>0 throughout x>0. (iii) S(a)=108/a+3πa²=9πa²=90.53311643…≈90.5 cm².
Schemat punktowania
(i) A1 for each correct second-derivative term; extra terms limit these to 1/2. (ii) M1:evaluate at a or establish positivity on a domain containing a. A1:correct positive value 18π or valid positivity argument, justifying the minimum. (iii) M1:evaluate S at a. A1:90.5 cm². For (ii), a sketch of the second derivative with the candidate’s a indicated earns M1; a correct observation that S″ is positive there earns A1. For (iii), using the graph of S to find its minimum also earns M1. Follow through a consistent stationary radius as appropriate.
Komentarz. Paper 2: calculator and AA SL formula booklet allowed. Retain intermediate precision. Use three significant figures unless exact answers or two decimal places are requested.