Extrema, inflections and optimization

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2026, TZ2wzorowane3 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 4c

Use a graph or another method to find (i) the least material area; (ii) the corresponding radius.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2026, TZ1wzorowane2 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 5a

Find A and B.

• Materiał graficzny

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2026, TZ3wzorowane4 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 7c

(i) Write a volume equation for the cuboid using x and y. (ii) Show that A = 4x³ + 1728/x + 864/x².

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2026, TZ3wzorowane5 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 7d

(i) Find the minimum surface area A. (ii) Find the second derivative of A at x=k. (iii) Use it to justify that this stationary value is a minimum.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2026, TZ1wzorowane7 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 8b

The graph has horizontal tangents at x=3 and at a distinct x=k. (i) Show that c=9. (ii) Find k. (iii) Classify the stationary point at x=k, with justification.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2026, TZ1wzorowane9 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 9c

The required force is 240 N both for a horizontal pull and when θ = π/3. The force is least when θ=α, with 0 < α < π/2. (i) Show that $\dfrac{dF}{d\theta}=\dfrac{240(\sin\theta-\cos\theta/\sqrt3)}{(\cos\theta+\sin\theta/\sqrt3)^2}$. (ii) Hence show…

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2026, TZ2wzorowane6 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 9c

(i) Find A′(θ). (ii) Hence find the maximum opening area.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2025, TZ1wzorowane5 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 2

The curve y = h(x) is defined for real x by $h(x)=\frac23(x-1)^3-18(x-1)+4$. Its local minimum is M(a, b), with a > 1. Find a and b.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2025, TZ2wzorowane2 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 5a

Find its maximum speed over this interval.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2025, TZ2wzorowane6 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 6b

Hence determine the x-coordinate of the point on the curve nearest to A.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2025, TZ3wzorowane7 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 7d

Let x = k be stationary for T. (i) Find k. (ii) Hence find T at x=k. (iii) Find y at x=k.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2025, TZ3wzorowane2 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 7e

Let x = k be the stationary argument of T. (i) Find d²T/dx². (ii) Hence justify whether T has a local minimum or a local maximum at x=k.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2025, TZ2wzorowane4 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 8d

(i) Find h^′(t). (ii) Hence or otherwise, find when the marker’s height decreases most rapidly during one turn.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2025, TZ1wzorowane4 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 9b

(i) Find k. (ii) Hence give the coordinates of P.

Matematyka AA IBPaper 2, listopad 2025, TZ1wzorowane3 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 7e

Find P when d is as small as possible.

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2025, TZ1wzorowane3 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 8a

Find a and b.

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2025, TZ1wzorowane2 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 8b

Classify the stationary point at x=a, giving a reason.

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2025, TZ1wzorowane2 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 8d

Is x=c an inflection point of the profile? Explain.

Matematyka AA IBPaper 2, listopad 2025, TZ1wzorowane2 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 8f

Find when the growth rate predicted by G is largest.

Matematyka AA IBPaper 2, listopad 2025, TZ3wzorowane3 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 8d

For V=96 cm³ and positive r,h, find the minimum S and its corresponding r.

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2025, TZ3wzorowane6 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 9d

Hence show that $q=\ln(3\sqrt2-2)$.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2024, TZ2wzorowane2 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 5b

Find the maximum velocity on the given time interval.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2024, TZ1wzorowane6 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 7b

Find the coordinates of A and use y″ to justify your choice.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2024, TZ1wzorowane2 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 7c

Find the x-coordinate of B.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2024, TZ2wzorowane7 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 8b

(i) State where f^′(x) = 0. (ii) Show that f^′′(x) = (−8x² + 32x − 20)/(2x² − 8x + 11)². (iii) Hence justify that the stationary point is a local minimum.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2024, TZ2wzorowane4 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 8c

Show that the annual harvest H, in kilograms, is H = 48x − 7πx².

• Materiał graficzny

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2024, TZ2wzorowane7 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 8d

(i) Find dH/dx. (ii) Find x maximizing the harvest and justify the maximum. (iii) Find the corresponding h.

• Materiał graficzny

Matematyka AA IBPaper 2, listopad 2024, TZ1wzorowane3 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 8e

Determine the calendar year in which the two predictions differ most over 20≤t≤70.

Matematyka AA IBPaper 2, listopad 2024, TZ2wzorowane3 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 8e

Over 20≤t≤70, determine the calendar year in which the two capacity predictions differ most.

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2024, TZ1wzorowane6 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 9b

Show that $V=45\pi r-\frac56\pi r^3$.

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2024, TZ1wzorowane3 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 9d

The maximizing radius can be written $r=p\sqrt2$, where p is a positive integer. Find p.

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2024, TZ1wzorowane3 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 9e

Find the maximum volume in the form $q\pi\sqrt2$, where q is a positive integer.

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2024, TZ2wzorowane6 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 9b

Show that $V=45\pi r-\frac56\pi r^3$.

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2024, TZ2wzorowane3 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 9d

The maximizing radius can be written $r=p\sqrt2$, where p is a positive integer. Find p.

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2024, TZ2wzorowane3 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 9e

Find the maximum volume in the form $q\pi\sqrt2$, where q is a positive integer.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2023, TZ1wzorowane5 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 7c

Hence find A.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2023, TZ1wzorowane5 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 9c

Hence find the greatest speed before the first rest time.

• Materiał graficzny

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2023, TZ1wzorowane2 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 9d

Find the greatest speed over 0≤t≤5.

• Materiał graficzny

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2023, TZ2wzorowane6 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 9d

Find the y-coordinate of R when the triangle area is greatest.

• Materiał graficzny

Matematyka AA IBPaper 2, listopad 2023, TZ1wzorowane3 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 7a

Show that S(x) = 108/x + 3πx².

• Materiał graficzny

Matematyka AA IBPaper 2, listopad 2023, TZ1wzorowane5 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 7b

Use S(x) = 108/x + 3πx². (i) Find S′(x). (ii) Find the exact positive stationary radius a.

Matematyka AA IBPaper 2, listopad 2023, TZ1wzorowane6 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 7c

For S(x) = 108/x + 3πx² and a = (18/π)^1/3: (i) find S″(x); (ii) use S″ to justify a minimum at a; (iii) find the minimum area.

Matematyka AA IBPaper 2, listopad 2023, TZ2wzorowane3 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 7a

Show that S(x) = 108/x + 3πx².

• Materiał graficzny

Matematyka AA IBPaper 2, listopad 2023, TZ2wzorowane5 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 7b

Use S(x) = 108/x + 3πx². (i) Find S′(x). (ii) Find the exact positive stationary radius a.

Matematyka AA IBPaper 2, listopad 2023, TZ2wzorowane6 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 7c

For S(x) = 108/x + 3πx² and a = (18/π)^1/3: (i) find S″(x); (ii) use S″ to justify a minimum at a; (iii) find the minimum area.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2022, TZ1wzorowane3 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 7e

(i) State the x-coordinate of the inflection point of f. (ii) Find where f is concave down, justifying your answer.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2022, TZ1wzorowane5 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 7d

An open-top rectangular container has internal dimensions 3x by x by y centimetres, with x,y>0. Its volume is 71.6 cm³. Ignore wall thickness. Find the minimum material area needed for its base and four sides.

Matematyka AA IBPaper 2, listopad 2022wzorowane2 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 3a

Find the coordinates of A.

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2022wzorowane7 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 9b

(i) Find f′(x). (ii) Hence find all points on the graph where f′(x) = 0, including the endpoints when appropriate.