Zadanie 6b, Paper 1, maj 2024, TZ1, Matematyka AA IB SL
Wzorowane na: Matematyka AA IB SL — maj 2024, TZ1, Paper 1 (zadania wzorowane), pytanie 6(b). Treść, dane i kontekst są zmienione; sprawdzane umiejętności, format i punktacja jak w oryginale.
Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.
Zadanie
Wspólne informacje do wiązki zadań
A geometric sequence has first term 1 and common ratio 4. Let Sₙ be the sum of its first n terms, for positive integers n.
Polecenie
Hence prove S1 + S2 + ⋯ + Sn = [4(4n − 1) − 3n]/9.
Korepetytor
Nie wiesz, jak ruszyć? Korepetytor zna to zadanie i poprowadzi Cię krok po kroku, bez gotowca.
3 rozmowy · bez karty · Zaloguj się
Sprawdź się
Jak poszło?
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Odpowiedź z klucza
UsingSⱼ=(4ʲ−1)/3, the sum is (1/3)[Σⱼ₌₁ⁿ4ʲ−n]. The powers sum to 4(4ⁿ−1)/3, so the result is (1/3)[4(4ⁿ−1)/3−n]=[4(4ⁿ−1)−3n]/9. Alternatively verify the base case n=1, assume the stated formula for n=k, and addSₖ₊₁=(4ᵏ⁺¹−1)/3; combining over 9 produces the formula fork+1.
Schemat punktowania
A1: express the sum using(4ʲ−1)/3. M1: sum the powers geometrically and collect the constants. A1: power sum 4(4ⁿ−1)/3. A1: correct combined intermediate expression proving the target. Induction alternative: R1 verified base, M1 explicit hypothesis, A1 correct addition/rearrangement for next index, R1 conclusion dependent on verified base and algebra. Equivalent sigma-sum allocation: M1 form the sum using S_j; A1 correct sum of powers; A1 sum of constants n; A1 a correct combined intermediate expression. For induction, do not require the hypothesis mark before awarding later algebra marks; final R1 requires the base R1 and algebra A1.
Komentarz. Paper 1: no calculator. AA SL formula booklet allowed. Give exact values and show method and proof steps.