Graniastosłupy i ostrosłupy: objętość i pole (matura)

Q: Jaki jest wzór na objętość ostrosłupa?

$V=\frac{1}{3}P_p\cdot H$, gdzie $P_p$ to pole podstawy, a $H$ wysokość ostrosłupa.

Wzory

Bryła	Objętość	Pole powierzchni
graniastosłup	V = P_p ⋅ H	P_c = 2P_p + P_b
ostrosłup	$V=\frac{1}{3}P_p\cdot H$	P_c = P_p + P_b
sześcian o krawędzi a	V = a³	P_c = 6a²
prostopadłościan a × b × c	V = abc	P_c = 2(ab + bc + ac)

Ostrosłup prawidłowy czworokątny

Podstawa to kwadrat o boku a, spodek wysokości leży w środku kwadratu. Najczęściej trzeba skorzystać z trójkątów prostokątnych:

wysokość H, połowa przekątnej podstawy $\frac{a\sqrt{2}}{2}$ i krawędź boczna,
wysokość H, połowa boku $\frac{a}{2}$ i wysokość ściany bocznej.

Do obliczeń w tych trójkątach przydają się twierdzenie Pitagorasa i funkcje trygonometryczne.

Typowe pułapki

Zapominanie o $\frac{1}{3}$ w objętości ostrosłupa.
Mylenie wysokości bryły z wysokością ściany bocznej.
Kąt między krawędzią boczną a podstawą to kąt z rzutem krawędzi (połową przekątnej), a nie z bokiem podstawy.

Zadania z matury

1.Zadanie 25, czerwiec 2026Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wysokość tego ostrosłupa jest równa A. $2\sqrt{3}$ B. $3\sqrt{2}$ C.…
2.Zadanie 27, maj 2026Oblicz objętość tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.
3.Zadanie 24, czerwiec 2025Oblicz objętość tego prostopadłościanu. Zapisz obliczenia.
4.Zadanie 25, czerwiec 2025Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa jest równa A. 2 B.…
5.Zadanie 26, maj 2025Objętość sześcianu jest równa 729. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Długość przekątnej tego…64%wykonalność
6.Zadanie 31, maj 2025Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji P. Oblicz długość x krawędzi AB tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole…38%wykonalność
7.Zadanie 25, czerwiec 2024Ostrosłup prawidłowy ma 2024 ściany boczne. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba wszystkich…
8.Zadanie 26, czerwiec 2024Przekątna ściany sześcianu ma długość $2\sqrt{2}$ . Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Objętość tego…

Zadania z arkuszy CKE z rozwiązaniem z klucza. Wykonalność to średni procent punktów zdobytych przez zdających (raporty CKE).

Najczęstsze pytania

Jaki jest wzór na objętość ostrosłupa?

$V=\frac{1}{3}P_p\cdot H$ , gdzie P_p to pole podstawy, a H wysokość ostrosłupa.

Czym różni się graniastosłup od ostrosłupa?

Graniastosłup ma dwie przystające podstawy i ściany boczne będące równoległobokami; ostrosłup ma jedną podstawę i ściany boczne w kształcie trójkątów zbiegające się w wierzchołku.

Graniastosłupy i ostrosłupy: objętość, pole i przekroje (matura)