Zadanie 1c, Paper 3, maj 2024, TZ1, Matematyka AA IB HL
Wzorowane na: Matematyka AA IB HL — maj 2024, TZ1, Paper 3 (zadania wzorowane), pytanie 1(c). Treść, dane i kontekst są zmienione; sprawdzane umiejętności, format i punktacja jak w oryginale.
Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.
Zadanie
Wspólne informacje do wiązki zadań
A production line compares two randomized inspection policies. Under policy A, each batch is inspected independently with constant probability p, where 0<p<1; X is the number of batches up to and including the first inspection. You may use . Under policy B, if the preceding j−1 batches since the last inspection were not inspected, the conditional probability of inspecting batch j is qj = j2/16 for j=1,2,3,4. After an inspection j resets to 1. Y is the number of batches until the first inspection under B.
Polecenie
For |r|<1, a + ar + ar2 + ⋯ = a/(1 − r). (i) Differentiate both sides with respect to r and express in terms of a,r. (ii) Hence show that E(X)=1/p.
Korepetytor
Nie wiesz, jak ruszyć? Korepetytor zna to zadanie i poprowadzi Cię krok po kroku, bez gotowca.
3 rozmowy · bez karty · Zaloguj się
Sprawdź się
Jak poszło?
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Odpowiedź z klucza
(i) Termwise differentiation gives a+2ar+3ar²+…=a/(1−r)², soΣₙ₌₁∞narⁿ⁻¹=a/(1−r)². (ii) In E(X)=Σₓ₌₁∞xp(1−p)ˣ⁻¹, take a=p,r=1−p. Since0<p<1, |r|<1; hence E(X)=p/[1−(1−p)]²=1/p.
Schemat punktowania
(i) A1:correct differentiated left side. M1:differentiatea(1−r)⁻¹ or use quotient rule. A1:a/(1−r)². A1:correct sigma identity, dependent on the preceding three marks and the sigma expression being shown. (ii) M1:identifya=p,r=1−p. A1:correct substitution/simplification establishing 1/p.
Komentarz. Paper 3: calculator and AA HL formula booklet allowed. Retain unrounded intermediate values. Give exact answers or three significant figures unless a different precision is requested.