Zadanie 1g, Paper 3, maj 2026, TZ1, Matematyka AA IB HL
Wzorowane na: Matematyka AA IB HL — maj 2026, TZ1, Paper 3 (zadania wzorowane), pytanie 1(g). Treść, dane i kontekst są zmienione; sprawdzane umiejętności, format i punktacja jak w oryginale.
Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.
Zadanie
Wspólne informacje do wiązki zadań
A numerical model samples the positive odd inputs 3, 5, 7, … . For a non-negative integer p and a positive integer n, define . This investigation compares geometric bounds with exact finite-difference calculations.
Polecenie
The two bounds to verify are and .
Again un = (2n + 1)3 − (2n − 1)3. (i) Express u_n as a quadratic in v = 2n + 1. (ii) Hence express in terms of T2(n), T1(n), T0(n). (iii) Hence show that . (iv) Prove that this exact expression satisfies both bounds from 1d.
Korepetytor
Nie wiesz, jak ruszyć? Korepetytor zna to zadanie i poprowadzi Cię krok po kroku, bez gotowca.
3 rozmowy · bez karty · Zaloguj się
Sprawdź się
Jak poszło?
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Odpowiedź z klucza
(i) un = v3 − (v − 2)3 = 6v2 − 12v + 8. (ii) Summing gives 6T2(n) − 12T1(n) + 8T0(n). (iii) Substitute the earlier results: (2n + 1)3 − 1 = 6T2(n) − 12(n2 + 2n) + 8n. Thus 6T2(n) = 8n3 + 24n2 + 22n, and division by 6 gives the stated identity. (iv) Subtracting the lower bound from T₂ gives . Subtracting T₂ from the upper bound gives . Both are positive for every positive integer n.
Schemat punktowania
(i) M1: expand (v−2)³ and subtract. A1: 6v²−12v+8. (ii) M1: sum the quadratic term by term. A1: 6T₂−12T₁+8T₀. (iii) M1: substitute earlier expressions. A1: correct equation linking the total to T₂. M1: rearrange with sufficient algebra to establish the target. (iv) R1: establish the lower inequality for all n>0. R1: establish the upper inequality for all n>0. No proof marks for examples alone.
Komentarz. Paper 3: calculator and AA HL formula booklet allowed. Give exact values or three significant figures unless stated otherwise. Proofs and technology results require supporting working.