Matematyka AA IB HL — maj 2026, TZ1, Paper 3 (zadania wzorowane)

Matematyka AA IBPaper 3, maj 2026, TZ1wzorowane2 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 1a

(i) Find T₀(6). (ii) Write a simplified expression for T₀(n).

Matematyka AA IBPaper 3, maj 2026, TZ1wzorowane3 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 1b

Use the arithmetic-sequence sum to show that T₁(n) = n² + 2n.

Matematyka AA IBPaper 3, maj 2026, TZ1wzorowane1 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 1c

Find T₂(4).

Matematyka AA IBPaper 3, maj 2026, TZ1wzorowane9 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 1d

Rectangle k has width 1, spans k − 1 ≤ x ≤ k, and has height (2k + 1)². A quadratic curve y=f(x) passes through their top-right corners. (i) State f(x). (ii) Compare areas to show $T_2(n)>\frac43n^3+2n^2+n$. (iii) Use a similar area comparison to show…

• Materiał graficzny

Matematyka AA IBPaper 3, maj 2026, TZ1wzorowane2 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 1e

Define u_n = (2n + 1)³ − (2n − 1)³. The pairs $(u_n,\sum_{k=1}^n u_k)$ for n=1,2,3,4 are (26,26), (98,124), (a,b), (386,728). Find (i) a; (ii) b.

Matematyka AA IBPaper 3, maj 2026, TZ1wzorowane4 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 1f

For u_n = (2n + 1)³ − (2n − 1)³, (i) suggest an expression for $\sum_{k=1}^n u_k$; (ii) prove it using the definition of u.

Matematyka AA IBPaper 3, maj 2026, TZ1wzorowane9 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 1g

The two bounds to verify are $T_2(n)>\frac43n^3+2n^2+n$ and $T_2(n)<\frac43n^3+6n^2+9n$. Again u_n = (2n + 1)³ − (2n − 1)³. (i) Express u_n as a quadratic in v = 2n + 1. (ii) Hence express $\sum_{k=1}^n u_k$ in terms of T₂(n), T₁(n), T₀(n). (iii) Hence show that…

Matematyka AA IBPaper 3, maj 2026, TZ1wzorowane3 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 2a

First take a=6, b=0. Find all possible z when (i) z is real; (ii) z is purely imaginary; (iii) $\arg z=\pi/3$.

Matematyka AA IBPaper 3, maj 2026, TZ1wzorowane2 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 2b

Sketch the locus r=6 on an Argand diagram, labelling every axis intercept.

Matematyka AA IBPaper 3, maj 2026, TZ1wzorowane3 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 2c

Now let $r=6\cos\theta$, −π/2 ≤ θ ≤ π/2. (i) State the maximum r. (ii) Find z at that maximum.

Matematyka AA IBPaper 3, maj 2026, TZ1wzorowane4 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 2d

Use the coordinate identities to show that every point of $r=6\cos\theta$, −π/2 ≤ θ ≤ π/2, satisfies (x − 3)² + y² = 9.

Matematyka AA IBPaper 3, maj 2026, TZ1wzorowane5 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 2e

For (x − 3)² + y² = 9, (i) find dy/dx in terms of x and y; (ii) hence or otherwise find all x-values where the tangent gradient is undefined.

Matematyka AA IBPaper 3, maj 2026, TZ1wzorowane1 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 2f

Sketch $r=6\cos\theta$, −π/2 ≤ θ ≤ π/2, on an Argand diagram. Label all axis intercepts.

Matematyka AA IBPaper 3, maj 2026, TZ1wzorowane5 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 2g

Finally take $r=6+6\cos\theta$, 0 ≤ θ ≤ 2π. Derive $\frac{dy}{dx}=\frac{\cos\theta+2\cos^2\theta-1}{-\sin\theta(1+2\cos\theta)}$ wherever the denominator is nonzero.

• Materiał graficzny

Matematyka AA IBPaper 3, maj 2026, TZ1wzorowane2 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 2h

For this part take $r=6+6\cos\theta$, 0 ≤ θ ≤ 2π. The point A on this curve has negative imaginary part and a horizontal tangent. Using 2g, find its θ in [0, 2π].