Prawdopodobieństwo i kombinatoryka: wzory i zadania (matura)

Kombinatoryka (karta CKE, dział 13)

Co liczysz	Wzór
ustawienia n elementów w ciąg (permutacje)	n!
wybór k z n bez kolejności (kombinacje)	$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$
ciągi k wyrazów z n, z powtórzeniami	n^k
ciągi k różnych wyrazów z n (wariacje bez powtórzeń)	$\frac{n!}{(n-k)!}$

Własności prawdopodobieństwa

0 ≤ P(A) ≤ 1, P(Ω) = 1, $P(\emptyset)=0$ .
Zdarzenie przeciwne: P(A^′) = 1 − P(A).
Suma zdarzeń: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ .

Poziom rozszerzony

Schemat Bernoullego: prawdopodobieństwo dokładnie k sukcesów w n próbach $P_n(k)=\binom{n}{k}p^kq^{n-k}$ , q = 1 − p.
Prawdopodobieństwo warunkowe: $P(A\vert B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$ .
Prawdopodobieństwo całkowite i twierdzenie Bayesa są w karcie CKE.

Przykład

Rzucamy dwa razy kostką. Wszystkich wyników jest 6 ⋅ 6 = 36. Suma oczek równa 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1), czyli 6 wyników. $P=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$ .

Typowe błędy

Mylenie kombinacji z wariacjami: czy kolejność ma znaczenie?
Liczenie „co najmniej jeden” wprost zamiast przez zdarzenie przeciwne.
Zapominanie, że (1,6) i (6,1) to różne wyniki przy rzucie dwiema kostkami.

Zadania z matury

1.Zadanie 31, czerwiec 2026Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że liczba wylosowana za pierwszym razem będzie parzysta i…
2.Zadanie 30, maj 2026Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że otrzymana w ten sposób liczba dwucyfrowa będzie podzielna przez…
3.Zadanie 27, czerwiec 2025Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że wylosujemy parę liczb (x, y), która będzie spełniać warunek…
4.Zadanie 28, maj 2025Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe A. $\frac{1}{36}$ B.…85%wykonalność
5.Zadanie 30, czerwiec 2024Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba kul białych w pudełku, przed wyciągnięciem jednej kuli, była…
6.Zadanie 31, czerwiec 2024Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że w pierwszym rzucie wypadnie większa liczba oczek niż w drugim…
7.Zadanie 30, maj 2024Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb jest liczbą parzystą. Zapisz obliczenia.64%wykonalność
8.Zadanie 32, czerwiec 2023Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A. Zapisz obliczenia.

Zadania z arkuszy CKE z rozwiązaniem z klucza. Wykonalność to średni procent punktów zdobytych przez zdających (raporty CKE).

1.Zadanie 6, czerwiec 2026Chleb sprzedawany w pewnym supermarkecie pochodzi z trzech piekarni: $\mathcal{P}_1$ , $\mathcal{P}_2$ , $\mathcal{P}_3$ . Stosunek…
2.Zadanie 2, maj 2026Ze zbioru ośmiu liczb {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} losujemy bez zwracania osiem razy po jednej liczbie. Wylosowane liczby…
3.Zadanie 1, czerwiec 2025Sklep AGD prowadzi sprzedaż wysyłkową pralek. Prawdopodobieństwo uszkodzenia podczas transportu pralki wysłanej przez ten sklep do…
4.Zadanie 4, maj 2025Doświadczenie losowe polega na czterokrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę…14%wykonalność
5.Zadanie 4, czerwiec 2024Doświadczenie losowe polega na dziesięciokrotnym rzucie symetryczną monetą. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na…
6.Zadanie 3, maj 2024W pewnym zakładzie mleczarskim śmietana produkowana jest w 200-gramowych opakowaniach. Prawdopodobieństwo zdarzenia, że w losowo…56%wykonalność

Zadania z arkuszy CKE z rozwiązaniem z klucza. Wykonalność to średni procent punktów zdobytych przez zdających (raporty CKE).

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć prawdopodobieństwo?

Przy jednakowo prawdopodobnych wynikach: liczba wyników sprzyjających podzielona przez liczbę wszystkich wyników.

Kiedy kombinacja, a kiedy wariacja?

Kombinacja, gdy kolejność wybranych elementów nie ma znaczenia (np. wybór delegacji). Wariacja, gdy ma znaczenie (np. kod PIN).

Prawdopodobieństwo i kombinatoryka: wzory i zadania maturalne