Zadanie 22, czerwiec 2024: matematyka podstawowa

Polecenie

Bok kwadratu $ABCD$ ma długość równą $12$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

. Punkt

S

jest środkiem boku

BC

tego kwadratu. Na odcinku

AS

leży punkt

P

taki, że odcinek

BP

jest prostopadły do odcinka

AS

.

Oblicz długość odcinka $BP$ . Zapisz obliczenia.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

$|BP| = \frac{12\sqrt{5}}{5}$

Schemat punktowania

2 pkt

poprawna metoda i obliczenie długości odcinka $BP$ : $|BP| = \frac{12\sqrt{5}}{5}$

Umiejętności w zadaniu

Cechy podobieństwa trójkątów Ćwicz podobne

Punkt $S$ jest środkiem odcinka $BC$ , więc $|BS| = 6$ .

Trójkąt $ABS$ jest prostokątny. Odcinek $BP$ jest wysokością trójkąta $ABS$ poprowadzoną na przeciwprostokątną $AS$ .

Z twierdzenia Pitagorasa: $|AS|^2 = 12^2 + 6^2 = 180$ , stąd $|AS| = 6\sqrt{5}$ .

Wzór na wysokość w trójkącie prostokątnym: $|BP| = \frac{|AB| \cdot |BS|}{|AS|} = \frac{12 \cdot 6}{6\sqrt{5}} = \frac{12}{\sqrt{5}} = \frac{12\sqrt{5}}{5}$ .

Alternatywnie: przez pole trójkąta $P_{ABS} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 6 = 36$ , oraz $P_{ABS} = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{5} \cdot |BP|$ , stąd $|BP| = \frac{12\sqrt{5}}{5}$ .

.

1 pkt

obliczenie długości odcinka $AS$ : $|AS| = 6\sqrt{5}$ ALBO obliczenie sinusa lub cosinusa jednego z kątów ostrych w trójkącie $ABP$ lub $BSP$ , ALBO zapisanie równości $|AP| = 2|BP|$ , ALBO zapisanie równości $|PS| = \frac{1}{2}|BP|$ , ALBO obliczenie długości odcinka $MB$ (gdzie $M$ jest rzutem prostokątnym punktu $P$ na odcinek $AB$ ): $|MB| = \frac{12}{5}$ .