Matematyka AA IB HL — maj 2025, TZ3, Paper 3 (zadania wzorowane)

Matematyka AA IBPaper 3, maj 2025, TZ3wzorowane5 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 1a

Show that (i) f^∘2(x) = c^1+mx^m²; (ii) f^∘3(x) = c^1+m+m²x^m³.

Matematyka AA IBPaper 3, maj 2025, TZ3wzorowane6 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 1b

(i) State f^∘4(x). (ii) Conjecture a corresponding expression for f^∘n(x) for positive integers n. (iii) Use your expression, or another method, to find f^∘n(x) when m = 1.

Matematyka AA IBPaper 3, maj 2025, TZ3wzorowane8 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 1c

For m ≠ 1, prove by mathematical induction that $f^{\circ n}(x)=c^{(1-m^n)/(1-m)}x^{m^n}$ for every positive integer n.

Matematyka AA IBPaper 3, maj 2025, TZ3wzorowane4 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 1d

For −1 < m < 1, the graphs of the successive calibrations approach a horizontal line for each fixed x > 0. Determine its equation in terms of c and m.

Matematyka AA IBPaper 3, maj 2025, TZ3wzorowane4 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 1e

Now let m = −1. (i) Show that f^∘n(x) = c/x when n is odd. (ii) Find f^∘n(x) when n is even.

Matematyka AA IBPaper 3, maj 2025, TZ3wzorowane2 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 2a

State V when (i) x = 0; (ii) x = a/3.

• Materiał graficzny

Matematyka AA IBPaper 3, maj 2025, TZ3wzorowane2 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 2b

Show that V = 9x³ − 3(a + b)x² + abx.

Matematyka AA IBPaper 3, maj 2025, TZ3wzorowane6 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 2c

Show that the only solutions of dV/dx = 0 are $x=\dfrac{a+b\pm\sqrt{a^2-ab+b^2}}9$.

Matematyka AA IBPaper 3, maj 2025, TZ3wzorowane5 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 2d

You may use that $D=\sqrt{a^2-ab+b^2}>0$, that (a + b + D)/9 is outside [0, a/3], and that x_m = (a + b − D)/9 is strictly inside it. Use the second derivative to show that V has a local maximum at x = x_m.

Matematyka AA IBPaper 3, maj 2025, TZ3wzorowane1 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 2e

You may use that $D=\sqrt{a^2-ab+b^2}>0$, that (a + b + D)/9 is outside [0, a/3], and that x_m = (a + b − D)/9 is strictly inside it. Use (a) and (d) to explain why this local maximum is the largest capacity on the permitted interval.

Matematyka AA IBPaper 3, maj 2025, TZ3wzorowane2 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 2f

For the remaining parts, set a = s² + 2st and b = t² + 2st, where s,t are positive integers and a<b. Show that t > s.

Matematyka AA IBPaper 3, maj 2025, TZ3wzorowane3 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 2g

For the remaining parts, set a = s² + 2st and b = t² + 2st, where s,t are positive integers and a<b. You are given $\sqrt{a^2-ab+b^2}=s^2+st+t^2$. Substitute into $x_m=(a+b-\sqrt{a^2-ab+b^2})/9$ to show that x_m = st/3.

Matematyka AA IBPaper 3, maj 2025, TZ3wzorowane7 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 2h

Let x_m denote the interior height maximizing V on [0, a/3]. For the remaining parts, set a = s² + 2st and b = t² + 2st, where s,t are positive integers and a<b. Let V_m = x_m(a − 3x_m)(b − 3x_m). (i) Explain why s divisible by 3 guarantees that both x_m and…