Zadanie 34, czerwiec 2018: matematyka podstawowa

Polecenie

Punkty $A = (-1, 1)$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

i

C = (1, 9)

są wierzchołkami trójkąta równoramiennego ABC, w którym

AC = BC

. Podstawa AB tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu

y = \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}

. Oblicz współrzędne wierzchołka B tego trójkąta.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

$B = \left(\frac{43}{5}, \frac{29}{5}\right) = (8{,}6; 5{,}8)$

Schemat punktowania

1 pkt

postęp konieczny (napisanie warunku CD prostopadła do AB, równania prostej CD, lub wyrażenie współrzędnych B w zależności od jednej zmiennej, lub równania okręgu o środku C i promieniu AC).

2 pkt

istotny postęp (obliczenie współrzędnych spodka D wysokości CD, lub zapisanie równania z jedną niewiadomą, lub układ równań z dwiema niewiadomymi).

3 pkt

pokonanie zasadniczych trudności (zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć B, lub równania kwadratowego w postaci uporządkowanej).

4 pkt

rozwiązanie pełne (obliczenie współrzędnych $B = (\frac{43}{5}, \frac{29}{5})$

Umiejętności w zadaniu

Prwszy sposób: Wyznaczenie prostej CD (wysokość z C prostopadła do AB). Współczynnik kierunkowy: $a_{CD} = -\frac{1}{a_{AB}} = -\frac{2}{3}$ . Równanie prostej CD: $y = -2(x - 1) + 9 = -2x + 11$ . Obliczenie punktu D (przecięcie AB i CD): $\frac{3}{2}x + \frac{1}{2} = -2x + 11$ , stąd $\frac{7}{2}x = \frac{21}{2}$ , czyli $x = 3$ , $y = \frac{11}{2}$ . Punkt D jest środkiem AB. Ze wzoru na środek: $x_B = 2x_D - x_A = 6 - (-1) = 7$ (błąd w kluczu – poprawnie: $D = (\frac{19}{5}, \frac{17}{5})$ , stąd $x_B = \frac{43}{5}$ , $y_B = \frac{29}{5}$ ).

Drugi sposób: Punkt B na prostej AB: $B = (x_B, \frac{3}{2}x_B + \frac{1}{2})$ . Równość $AC = BC$ : $(x_B + 1)^2 + (\frac{3}{2}x_B + \frac{1}{2} - 9)^2 = 4 + 64$ . Prowadzi do równania $5x_B^2 - 38x_B - 43 = 0$ . Rozwiązania: $x_B = -1$ (punkt A) lub $x_B = \frac{43}{5}$ .

).