Matura z matematyki, czerwiec 2018

MatematykaCzerwiec 20181 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 1

Dla $x = \frac{1}{2} + \sqrt{2}$ oraz $y = \sqrt{2} - \frac{1}{2}$ wartość wyrażenia $\frac{x^2 - xy + y^2}{2}$ jest równa A. 4 B. 1 C. \sqrt{2} D. \frac{1}{2}

MatematykaCzerwiec 20181 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 2

Dane są liczby: $a = \log_4 8$, $b = \log_4 8$, $c = \log_2 1$. Liczby te spełniają warunek A. a > b > c B. b > a > c C. c > b > a D. b > c > a

MatematykaCzerwiec 20181 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 3

Wskaż liczbę spełniającą nierówność $(x-4)(x+3)(x+4) > 0$. A. 5 B. 16 C. -4 D. -2

MatematykaCzerwiec 20181 pktzamkniętełatwe (szac.)

Zadanie 4

Po dwukrotnej obniżce, za każdym razem o 10% w stosunku do ceny obowiązującej w chwili obniżki, komputer kosztuje 1944 złote. Stąd wynika, że przed tymi obniżkami ten komputer kosztował A. 2200 złotych B. 2300 złotych C. 2400 złotych D. 3000 złotych

MatematykaCzerwiec 20181 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 5

Na rysunku przedstawiony jest przedział $(-10, k)$, gdzie $k$ jest liczbą całkowitą. Suma wszystkich liczb całkowitych należących do tego przedziału jest równa 21. Stąd wynika, że A. k = 9 B. k = 11 C. k = 21 D. k = 31

• Materiał graficzny

MatematykaCzerwiec 20181 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 6

Równanie $\sqrt{x^2 + 1} = 2x - 1$ A. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste B. ma dokładnie trzy rozwiązania rzeczywiste C. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste D. nie ma rozwiązań

MatematykaCzerwiec 20181 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 7

Liczbę $\frac{224}{1111}$ można zapisać w postaci nieskończonego ułamka dziesiętnego okresowego. Dwudziestą cyfrą po przecinku jego rozwinięcia jest A. 2 B. 0 C. 1 D. 6

MatematykaCzerwiec 20181 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 8

Liczba $\frac{4^{20} - 2^{20}}{2^{20} \cdot 2^{10}}$ jest równa A. 0 B. 2^{20} - 2 C. 2^{19} D. 4^{10} - 2

MatematykaCzerwiec 20181 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 9

Funkcja f jest określona wzorem $f(x) = \frac{(x-1)(2x+3)}{2x-2}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x \neq 2$. Wartość funkcji f dla argumentu 2 jest równa A. -8 B. -\frac{1}{2} C. 1{,}2 D. 8

MatematykaCzerwiec 20181 pktzamkniętełatwe (szac.)

Zadanie 10

Największą wartością funkcji $y = -(x-2)^2 + 4$ w przedziale $\langle 3, 5 \rangle$ jest A. 4 B. 3 C. 0 D. 5

MatematykaCzerwiec 20181 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 11

Funkcja liniowa $f(x) = (m^2-1)x + m - 1$ nie ma miejsc zerowych dla A. m = 1 B. m = 0 C. m = -1 D. m = -2

MatematykaCzerwiec 20181 pktzamkniętełatwe (szac.)

Zadanie 12

Na jednym z rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej określonej wzorem $f(x) = -(x-1)(x-3)$. Wskaż ten rysunek. A. B. C. D.

• Materiał graficzny

MatematykaCzerwiec 20181 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 13

Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego $(a_n)$ określonego dla $n \geq 1$ są dodatnie i $a_2 = \frac{3}{2}$, $a_3 = \frac{3}{2}$. Stąd wynika, że iloraz $q$ tego ciągu jest równy A. q = \frac{2}{3} B. q = \frac{3}{2} C. q = 6 D. q = 5

MatematykaCzerwiec 20181 pktzamkniętełatwe (szac.)

Zadanie 14

Dany jest ciąg arytmetyczny $(a_n)$ określony wzorem $a_n = \frac{1}{2} - 16n$ dla każdej liczby całkowitej $n \geq 1$. Różnica $r$ tego ciągu jest równa A. r = -16 B. r = -\frac{1}{2} C. r = -\frac{1}{32} D. r = \frac{1}{2} - 15

MatematykaCzerwiec 20181 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 15

Liczba $1 - \tan 40°$ jest A. ujemna B. dodatnia, ale mniejsza od 0,1 C. większa od 0,1, ale mniejsza od 0,5 D. większa od 0,5

MatematykaCzerwiec 20181 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 16

Odcinek AB jest średnicą okręgu o środku O i promieniu $r$. Na tym okręgu wybrano punkt C, taki, że $|BC| = |OB|$ (zobacz rysunek). Pole trójkąta AOC jest równe A. \frac{1}{2}r^2 B. \frac{1}{4}r^2 C. \frac{\pi r^2}{4} D. \frac{3}{4}r^2

• Materiał graficzny

MatematykaCzerwiec 20181 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 17

Okrąg o środku $S_1 = (1, 2)$ i promieniu $r$ oraz okrąg o środku $S_2 = (5, 5)$ i promieniu 4 są styczne zewnętrznie. Wtedy A. r = 1 B. r = 2 C. r = 3 D. r = 4

MatematykaCzerwiec 20181 pktzamkniętełatwe (szac.)

Zadanie 18

Długości boków trapezu równoramiennego są równe 12, 13, 2, 13. Wysokość $h$ tego trapezu jest równa A. 5 B. 8 C. 10 D. 12

• Materiał graficzny

MatematykaCzerwiec 20181 pktzamkniętełatwe (szac.)

Zadanie 19

Miary kątów pewnego czworokąta pozostają w stosunku $4:3:3:2$. Wynika stąd, że najmniejszy kąt tego czworokąta ma miarę A. 60° B. 50° C. 40° D. 30°

MatematykaCzerwiec 20181 pktzamkniętełatwe (szac.)

Zadanie 20

Dany jest walec, w którym wysokość jest równa promieniowi podstawy. Objętość tego walca jest równa $27\pi$. Wynika stąd, że promień podstawy tego walca jest równy A. 9 B. 6 C. 3 D. 2

MatematykaCzerwiec 20181 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 21

Stożek o promieniu podstawy $r$ i kula o tym samym promieniu mają równe objętości. Tangens kąta między tworzącą i płaszczyzną podstawy tego stożka jest równy A. \frac{4}{3} B. \frac{1}{2} C. \sqrt{17} D. 4

MatematykaCzerwiec 20181 pktzamkniętełatwe (szac.)

Zadanie 22

Wśród 100 osób przeprowadzono ankietę, w której zadano pytanie o liczbę książek przeczytanych w ostatnim roku. Wyniki ankiety zebrano w poniższej tabeli. Średnia liczba przeczytanych książek przez jedną ankietowaną osobę jest równa A. 0,5 B. 1 C. 2 D. 2,5

• Tabela do uzupełnienia

MatematykaCzerwiec 20181 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 23

Gdy dodamy liczbę wszystkich krawędzi pewnego graniastosłupa do liczby wszystkich jego wierzchołków, to otrzymamy w wyniku 15. Liczba wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest równa A. 9 B. 7 C. 6 D. 5

MatematykaCzerwiec 20181 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 24

Liczba wszystkich dodatnich liczb czterocyfrowych parzystych, w których zapisie nie występują cyfry 0 i 2, jest równa A. $8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 3$ B. $8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 3$ C. $8 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 4$ D. $9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 4$

MatematykaCzerwiec 20181 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 25

W pudełku znajdują się dwie kule: czarna i biała. Czterokrotnie losujemy ze zwracaniem jedną kulę z tego pudełka. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie trzy razy w czterech losowaniach wyciągniemy kulę koloru białego, jest równe A.…

MatematykaCzerwiec 20182 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 26

Rozwiąż nierówność $\left(x-1\right)^2 + x - 1 < 0$.

MatematykaCzerwiec 20182 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 27

Wykresem funkcji kwadratowej f określonej wzorem $f(x) = x^2 + bx + c$ jest parabola, na której leży punkt $A = (0, -5)$. Osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu $x = 7$. Oblicz wartości współczynników b i c.

• Materiał graficzny

MatematykaCzerwiec 20182 pktotwarteśrednie (szac.)

Zadanie 28

Wykaż, że reszta z dzielenia sumy kwadratów czterech kolejnych liczb naturalnych przez 8 jest równa 6.

MatematykaCzerwiec 20182 pktotwartetrudne (szac.)

Zadanie 29

Dany jest prostokąt ABCD. Na boku CD tego prostokąta wybrano taki punkt E, że $DE = 2 \cdot EC$, a na boku AB wybrano taki punkt F, że $BF = DE$. Niech P oznacza punkt przecięcia prostej EF z prostą BC (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąty AED i FPB są…

• Materiał graficzny

MatematykaCzerwiec 20182 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 30

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\sin\alpha + \cos\alpha = \sqrt{2}$. Oblicz wartość wyrażenia $\frac{1 + \tan\alpha}{\tan\alpha}$.

MatematykaCzerwiec 20182 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 31

Rzucamy cztery razy symetryczną monetą. Po przeprowadzonym doświadczeniu zapisujemy liczbę uzyskanych orłów (od 0 do 4) i liczbę uzyskanych reszek (również od 0 do 4). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że w tych czterech rzutach liczba…

MatematykaCzerwiec 20185 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 32

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości $H = 16$. Cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa jest równy $\frac{3}{5}$. Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

MatematykaCzerwiec 20184 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 33

W ciągu arytmetycznym $(a_n)$ określonym dla liczb naturalnych $n \ge 1$, wyraz szósty jest liczbą dwa razy większą od wyrazu piątego, a suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa $S_{10} = 15\frac{3}{4}$. Oblicz wyraz pierwszy oraz różnicę…

MatematykaCzerwiec 20184 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 34

Punkty $A = (-1, 1)$ i $C = (1, 9)$ są wierzchołkami trójkąta równoramiennego ABC, w którym $AC = BC$. Podstawa AB tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu $y = \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}$. Oblicz współrzędne wierzchołka B tego trójkąta.