Zadanie 33, czerwiec 2023: matematyka podstawowa

Polecenie

Działka ma kształt trapezu. Podstawy $AB$ i $CD$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

tego trapezu mają długości

|AB| = 400

m oraz

|CD| = 100

m. Wysokość trapezu jest równa

75

m, a jego kąty

DAB

i

ABC

są ostre.

Z działki postanowiono wydzielić plac w kształcie prostokąta z przeznaczeniem na parking. Dwa z wierzchołków tego prostokąta mają leżeć na podstawie $AB$ tego trapezu, a dwa pozostałe – $E$ oraz $F$ – na ramionach $AD$ i $BC$ trapezu (zobacz rysunek).

Wyznacz długości boków prostokąta, dla których powierzchnia wydzielonego placu będzie największa. Wyznacz tę największą powierzchnię.

Zapisz obliczenia.

Wskazówka:

Aby powiązać ze sobą wymiary prostokąta, skorzystaj z tego, że pole trapezu $ABCD$ jest sumą pól trapezów $ABFE$ oraz $EFCD$ :

$P_{ABCD} = P_{ABFE} + P_{EFCD}$

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Wymiary placu: $50$ m $\times$ $200$ m

Największa powierzchnia: $10\ 000$ m $^2$

Schemat punktowania

4 pkt

poprawna metoda rozwiązania i poprawne wyniki: $50$ m $\times$ $200$ m, $10\ 000$ m $^2$

Komentarz

Należy sprawdzić, czy wyznaczone wartości znajdują się w dziedzinie funkcji.

Umiejętności w zadaniu

Ze wzoru na pola trapezów:

$\frac{100 + 400}{2} \cdot 75 = \frac{400 + y}{2} \cdot x + \frac{100 + y}{2} \cdot (75 - x)$

Stąd: $y = 400 - 4x$

Pole placu: $P(x) = x(400 - 4x)$ dla $x \in (0, 75]$

Wartość maksymalna funkcji kwadratowej dla $x = 50$

$y = 200$

Powierzchnia: $50 \cdot 200 = 10\ 000$ m $^2$

.

3 pkt

zapisanie dziedziny funkcji $P(x)$ : $(0, 75]$ , wyznaczenie argumentu, dla którego funkcja osiąga wartość największą: $x = 50$ m.

2 pkt

zapisanie wzoru na pole powierzchni placu w zależności od długości jednego z boków, np. $P(x) = x(400 - 4x)$ .

1 pkt

zapisanie zależności między wymiarami placu, np. $y = 400 - 4x$ .