Zadanie 3, maj 2024: matematyka podstawowa

Polecenie

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ liczba $n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

przy dzieleniu przez

3

daje resztę

2

.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Przekształcenie wyrażenia $n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2$

Schemat punktowania

2 pkt

przekształcenie wyrażenia $n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2$

Komentarz

Sprawdzenie tezy tylko dla wybranych wartości n daje 0 pkt za całe rozwiązanie. Pełne rozumowanie dla wszystkich przypadków (lub co najmniej połowy przy założeniu $n=3k+r$ ) jest konieczne.

Umiejętności w zadaniu

Dowody podzielności i reszt Ćwicz podobne

do postaci

3(n^2+2n+1)+2

lub

3n^2+6n+5

, wykazujące podzielność składników przez 3 i resztę równą 2.

Sposób I: $n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 = n^2 + n^2 + 2n + 1 + n^2 + 4n + 4 = 3n^2 + 6n + 5 = 3(n^2 + 2n + 1) + 2$ . Zatem liczba daje resztę 2 przy dzieleniu przez 3.

Sposób II: Wśród trzech kolejnych liczb $n, n+1, n+2$ dokładnie jedna jest podzielna przez 3, a dwie nie są. Kwadrat liczby podzielnej przez 3 jest podzielny przez 3, a kwadrat liczby niepodzielnej przez 3 daje resztę 1. Suma reszt: $0+1+1=2$ .

do postaci

3(n^2+2n+1)+2

ALBO przekształcenie do postaci

3n^2+6n+5

z zapisaniem podzielności składników przez 3, a reszta z dzielenia liczby 5 przez 3 jest równa 2, ALBO zapisanie, że wśród trzech kolejnych liczb dokładnie jedna jest podzielna przez 3, a dwie nie są, oraz zapisanie odpowiedniej reszty z dzielenia ich kwadratów przez 3, oraz wniosku.

1 pkt

przekształcenie wyrażenia do postaci $n^2 + n^2 + 2n + 1 + n^2 + 4n + 4$ ALBO zapisanie faktu o trzech kolejnych liczbach naturalnych i resztach z dzielenia kwadratów przez 3, ale bez pełnego rozumowania dla wszystkich przypadków.