Zadanie 31, maj 2024: matematyka podstawowa

Polecenie

W schronisku dla zwierząt, na płaskiej powierzchni, należy zbudować ogrodzenie z siatki wydzielające trzy identyczne wybiegi o wspólnych ścianach wewnętrznych.

Podstawą każdego z tych trzech wybiegów jest prostokąt (jak pokazano na rysunku).

Do wykonania tego ogrodzenia należy zużyć $36$ metrów bieżących siatki.

Schematyczny rysunek trzech wybiegów (widok z góry). Linią przerywaną zaznaczono siatkę.

Zapisz zadanie

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

Oblicz wymiary $x$ oraz $y$ jednego wybiegu, przy których suma pól podstaw tych trzech wybiegów będzie największa. W obliczeniach pomiń szerokość wejścia na każdy z wybiegów. Zapisz obliczenia.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Długość siatki użytej do wykonania ogrodzenia można zapisać równaniem: $4x + 6y = 36$ .

Stąd wyznaczamy $y$ : $y = 6 - \frac{2}{3}x$

Schemat punktowania

4 pkt

poprawna metoda obliczenia obu wymiarów prostokąta oraz podanie poprawnego wyniku: $x = 4{,}5$ m oraz $y = 3$ m.

3 pkt

zapisanie poprawnego wzoru na sumę pól trzech prostokątów jako funkcji zmiennej $x$ oraz obliczenie argumentu, dla którego ta funkcja przyjmuje wartość największą:

Umiejętności w zadaniu

.

Niech $P$ oznacza sumę pól podstaw trzech wybiegów. Suma pól podstaw trzech wybiegów jest równa polu prostokąta o bokach długości $x$ oraz $3y$ .

Zatem $P = 3xy$ .

Sumę pól podstaw trzech wybiegów zapisujemy jako funkcję jednej zmiennej $x$ :

$P(x) = 3x(6 - \frac{2}{3}x) = -2x^2 + 18x$ .

Wykresem funkcji $P$ jest fragment paraboli skierowanej ramionami do dołu. Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli: $p = -\frac{18}{2 \cdot (-2)} = 4{,}5$ .

Funkcja $P$ przyjmuje wartość największą dla argumentu $4{,}5$ .

Obliczamy drugi wymiar: $y = 6 - \frac{2}{3} \cdot 4{,}5 = 3$ .

Suma pól podstaw trzech wybiegów jest największa, gdy: $x = 4{,}5$ m oraz $y = 3$ m.

x = 4{,}5

m ALBO zapisanie poprawnego wzoru na sumę pól trzech prostokątów jako funkcji zmiennej

y

oraz obliczenie argumentu, dla którego ta funkcja przyjmuje wartość największą:

y = 3

m, ALBO zapisanie poprawnego wzoru na pole jednego prostokąta jako funkcji zmiennej

x

oraz obliczenie argumentu, dla którego ta funkcja przyjmuje wartość największą:

x = 4{,}5

m, ALBO zapisanie poprawnego wzoru na pole jednego prostokąta jako funkcji zmiennej

y

oraz obliczenie argumentu, dla którego ta funkcja przyjmuje wartość największą:

y = 3

m.

2 pkt

zapisanie poprawnego wzoru na sumę pól trzech prostokątów w zależności od jednej zmiennej, np.: $P(x) = 3x(6 - \frac{2}{3}x)$ , $P(x) = x(18 - 2x)$ , $P(y) = 3(9 - \frac{3}{2}y)y$ ALBO zapisanie poprawnego wzoru na pole jednego prostokąta w zależności od jednej zmiennej, np.: $P(x) = x(6 - \frac{2}{3}x)$ , $P(y) = (9 - \frac{3}{2}y)y$ .

1 pkt

zapisanie poprawnego związku między wymiarami jednego wybiegu a całkowitą długością siatki, np. $4x + 6y = 36$ .