Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

$a^2 - b^2 = (5k+1)^2 - (5l+4)^2 = 25k^2 + 10k + 1 - 25l^2 - 40l - 16 = 25k^2 + 10k - 25l^2 - 40l - 15 = 5(5k^2 + 2k - 5l^2 - 8l - 3)$.

Liczba $5k^2 + 2k - 5l^2 - 8l - 3$ jest całkowita, zatem $a^2 - b^2$ jest podzielna przez 5.

Alternatywnie: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) = (5k+1-5l-4)(5k+1+5l+4) = (5k-5l-3)(5k+5l+5) = 5(5k-5l-3)(k+l+1)$, co dowodzi podzielności przez 5.

Albo: suma $a+b$ jest podzielna przez 5, stąd $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ jest podzielna przez 5.

Albo: jeśli liczba daje resztę 1 przy dzieleniu przez 5, to jej kwadrat daje resztę 1; jeśli liczba daje resztę 4, to jej kwadrat też daje resztę 1. Stąd $a^2 \equiv 1 \pmod{5}$ i $b^2 \equiv 1 \pmod{5}$, więc $a^2-b^2 \equiv 0 \pmod{5}$.