Sposób 1

Zauważamy, że czas 13 dni stanowi 3,5 czasów połowicznego rozpadu:

$\frac{t}{T} = \frac{13 \text{ dni}}{3,7 \text{ dni}} \approx 3,5$

Korzystamy z pojęcia czasu połowicznego rozpadu lub równoważnie ze wzoru przedstawiającego zależność liczby jąder pozostających w próbce od czasu. Zamiast liczby jąder radu pozostających w próbce zapiszemy $m(t)$ – łączną masę jąder izotopu radu pozostających w próbce ($m_0$ oznacza początkową masę izotopu radu w próbce):

$m(t) = m_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T} \rightarrow m_0 = m(t) \cdot 2^{t/T}$

Dla $t = 3,5T$ mamy:

$m_0 = m(3,5T) \cdot 2^{3,5} = 0,75 \text{ mg} \cdot 2^3 \cdot 2^{1/2} = 8,5 \text{ mg}$

Początková masa izotopu radu wynosiła około 8,5 mg.

Sposób 2

Zauważamy, że $3T < t < 4T$. Następnie obliczamy, jakie byłyby masy początkowe, gdybyśmy do rachunków przyjęli $t = 3T$, a następnie $t = 4T$:

$0,75 \text{ mg} = m_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 \rightarrow m_0 = 6 \text{ mg}$

$0,75 \text{ mg} = m_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 \rightarrow m_0 = 12 \text{ mg}$

Początková masa izotopu należy do przedziału otwartego $m_0 \in (6 \text{ mg}; 12 \text{ mg})$ lub masa początkowa izotopu radu jest równa około:

$m_0 \approx \frac{1}{2}(6 \text{ mg} + 12 \text{ mg}) \approx 9 \text{ mg}$

Sposób 3

Zauważamy, że w czwartym okresie czasu połowicznego rozpadu (tj. od $3T$ do $4T$) fragment krzywej rozpadu można przybliżyć odcinkiem prostym. Dlatego wartość funkcji $m(t)$ na środku odcinka od $3T$ do $4T$ można szacować ze średniej arytmetycznej wartości funkcji $m(t)$

$m(3,5T) \approx \frac{1}{2}(m(3T) + m(4T))$

Korzystamy z pojęcia czasu połowicznego rozpadu:

$m(3,5T) \approx \frac{1}{2}\left(\left(\frac{1}{2}\right)^3 m_0 + \left(\frac{1}{2}\right)^4 m_0\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^3\left(1 + \frac{1}{2}\right) m_0 = \frac{3}{32} m_0$

Podstawiamy dane:

$m(3,5T) \approx \frac{3}{32} m_0 \rightarrow m_0 \approx \frac{32}{3} \cdot 0,75 \text{ mg} \approx 8 \text{ mg}$

Początková masa izotopu radu wynosiła około 8 mg.