Zadanie 29, czerwiec 2019: matematyka podstawowa

Polecenie

Wykaż, że dla każdej liczby $a > 0$ i dla każdej liczby $b > 0$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

prawdziwa jest nierówność

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{4}{a + b}

.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

I sposób: Mnożymy obie strony przez $a \cdot b \cdot (a + b) > 0$ , otrzymując $(a + b)(a + b) + ab(a + b) \geq 4ab$

Schemat punktowania

1 pkt

doprowadzenie nierówności do postaci $(a - b)^2 \geq 0$ lub $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$

Komentarz

Sprawdzenie dla konkretnych liczb a i b powoduje 0 punktów. III sposób (nierówność między średnią harmoniczną i arytmetyczną) jest również akceptowalny.

Umiejętności w zadaniu

Działania na liczbach rzeczywistych Ćwicz podobne

, czyli

a^2 - 2ab + b^2 \geq 0

, tj.

(a - b)^2 \geq 0

. II sposób: Mnożymy przez

(a + b) > 0

, otrzymując

\frac{b}{a} + \frac{a}{b} + 2 \geq 4

, czyli

\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2

, co wynika z nierówności między średnią geometryczną i arytmetyczną.

; 2 pkt – pełne, poprawne rozumowanie.