Zadanie 33, czerwiec 2019: matematyka podstawowa

Polecenie

Liczby rzeczywiste $x$ i $z$ spełniają warunek $x + z = 1$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

. Wyznacz takie wartości

x

i

z

, dla których wyrażenie

x^2 + z^2 + 7xz

przyjmuje największą wartość. Podaj tę największą wartość.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Największa wartość to $7$ , przyjmowana dla $x = z = \frac{1}{2}$ .

Z warunku $x + z = 1$

Schemat punktowania

4 pkt

poprawne wyznaczenie wartości $x$ i $z$ oraz wartości maksymalnej wyrażenia.

3 pkt

poprawne zapisanie wyrażenia w zależności od jednej zmiennej i znalezienie punktu krytycznego, ale błąd w obliczeniu wartości maksymalnej lub podanie wartości zamiast pary liczb.

2 pkt

zastosowanie warunku do wyrażenia, ale błędy w dalszych obliczeniach.

1 pkt

prawidłowe zastosowanie warunku $x + z = 1$

Komentarz

Dopuszczalne jest podanie rozwiązania w postaci $x = z = 0{,}5$ zamiast ułamków zwykłych. Uczniowie mogą również nie podać pary $(x, z)$ i podać tylko wartość maksymalną, co obniży ocenę do 3 pkt.

Umiejętności w zadaniu

wynika

z = 1 - x

.

Wyrażenie przyjmuje postać: $f(x) = x^2 + (1-x)^2 + 7x(1-x) = x^2 + 1 - 2x + x^2 + 7x - 7x^2 = -5x^2 + 5x + 1$ .

To funkcja kwadratowa o współczynniku przy $x^2$ równym $-5 < 0$ , więc ma maksimum.

Wierzchołek paraboli: $x = -\frac{5}{2 \cdot (-5)} = \frac{1}{2}$ .

Stąd $z = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ .

Wartość maksymalna: $f(\frac{1}{2}) = -5 \cdot \frac{1}{4} + 5 \cdot \frac{1}{2} + 1 = -\frac{5}{4} + \frac{5}{2} + 1 = \frac{7}{4}$ .

Albo: Z warunku $z = 1 - x$ i wyrażenia $x^2 + (1-x)^2 + 7x(1-x)$ można rozwinąć do postaci $-5x^2 + 5x + 1$ i znaleźć maksimum jako $\frac{7}{4}$ dla $x = z = \frac{1}{2}$ .

do wyrażenia.