Matematyka Maj 2026 1 pkt zamknięte łatwe (szac.)
Wartość wyrażenia x 2 + 10 x + 25 x^2 + 10x+ 25 x 2 + 10 x + 25 dla x = 2 − 5 x= \sqrt{2} -5 x = 2 − 5 jest równa A. 2 2 2 B. 2 \sqrt{2} 2 C. 2 − 20 2 2 -20\sqrt{2} 2 − 20 2 D. 62 − 10 2 62 -10\sqrt{2} 62 − 10 2
Matematyka Czerwiec 2026 1 pkt zamknięte łatwe (szac.)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Dla każdej liczby rzeczywistej x x x wartość wyrażenia x 3 − 2 x 2 + x x^3 - 2x^2 + x x 3 − 2 x 2 + x jest równa wartości wyrażenia A. x ( x − 1 ) 2 x(x-1)^2 x ( x − 1 ) 2 B. x ( x − 1 ) ( x + 1 ) x(x-1)(x+1) x ( x − 1 ) ( x + 1 ) C. ( x − 1 ) ( x 2 + 1 ) (x-1)(x^2+1) ( x − 1 ) ( x 2 + 1 ) D. ( x + 1 ) ( x − 1 ) 2 (x+1)(x-1)^2 ( x + 1 ) ( x − 1 ) 2
Matematyka Maj 2025 1 pkt zamknięte łatwe 72%
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Dla każdej liczby rzeczywistej x x x wartość wyrażenia ( 3 x + 2 ) 2 − ( 2 x − 3 ) 2 (3x+2)^2-(2x-3)^2 ( 3 x + 2 ) 2 − ( 2 x − 3 ) 2 jest równa wartości wyrażenia A. 5 x 2 − 5 5x^2-5 5 x 2 − 5 B. 5 x 2 + 13 5x^2+13 5 x 2 + 13 C. 5 x 2 + 24 x − 5 5x^2+24x-5 5 x 2 + 24 x − 5 D. 5 x 2 + 24 x − 13 5x^2+24x-13 5 x 2 + 24 x − 13
Matematyka Czerwiec 2025 1 pkt zamknięte łatwe (szac.)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba ( 3 + 1 ) 2 − 12 (\sqrt{3} + 1)^2 - \sqrt{12} ( 3 + 1 ) 2 − 12 jest równa A. 4 − 4 3 4 - 4\sqrt{3} 4 − 4 3 B. 4 − 2 3 4 - 2\sqrt{3} 4 − 2 3 C. 2 2 2 D. 4 4 4
Matematyka Czerwiec 2025 1 pkt zamknięte łatwe (szac.)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Równanie 4 ( x − 1 ) 2 ( x 2 − 25 ) = 0 4(x-1)^2(x^2 -25) = 0 4 ( x − 1 ) 2 ( x 2 − 25 ) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie A. dwa rozwiązania B. trzy rozwiązania C. cztery rozwiązania D. pięć rozwiązań
Matematyka Maj 2024 1 pkt zamknięte łatwe 79%
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Dla każdej liczby rzeczywistej a a a i dla każdej liczby rzeczywistej b b b wartość wyrażenia ( 2 a + b ) 2 − ( 2 a − b ) 2 (2a+b)^2-(2a-b)^2 ( 2 a + b ) 2 − ( 2 a − b ) 2 jest równa wartości wyrażenia A. 8 a 2 8a^2 8 a 2 B. 8 a b 8ab 8 ab C. − 8 a b -8ab − 8 ab D. 2 b 2 2b^2 2 b 2
Matematyka Czerwiec 2024 1 pkt zamknięte średnie (szac.)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba ( 2 10 + 2 ) 2 (2\sqrt{10} + \sqrt{2})^2 ( 2 10 + 2 ) 2 jest równa A. 22 22 22 B. 42 42 42 C. 42 + 4 5 42 + 4\sqrt{5} 42 + 4 5 D. 42 + 8 5 42 + 8\sqrt{5} 42 + 8 5
Matematyka Czerwiec 2024 1 pkt zamknięte średnie (szac.)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Dla każdej liczby rzeczywistej x x x różnej od: ( − 1 ) (-1) ( − 1 ) , 0 0 0 i 1 1 1 , wartość wyrażenia 2 x 2 x 2 − 1 ⋅ x + 1 x \frac{2x^2}{x^2-1} \cdot \frac{x+1}{x} x 2 − 1 2 x 2 ⋅ x x + 1 jest równa wartości wyrażenia A. 2 x + 2 2x + 2 2 x + 2 B. 2 x x − 1 \frac{2x}{x-1} x − 1 2 x C.…
Matematyka Maj 2023 1 pkt zamknięte łatwe 75%
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Dla każdej liczby rzeczywistej a a a wyrażenie ( 2 a − 3 ) 2 − ( 2 a + 3 ) 2 (2a - 3)^2 - (2a + 3)^2 ( 2 a − 3 ) 2 − ( 2 a + 3 ) 2 jest równe A. − 24 a -24a − 24 a B. 0 0 0 C. 18 18 18 D. 16 a 2 − 24 a 16a^2 - 24a 16 a 2 − 24 a
Matematyka Czerwiec 2023 1 pkt zamknięte łatwe (szac.)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba ( 1 + 5 ) 2 − ( 1 − 5 ) 2 (1 + \sqrt{5})^2 − (1 − \sqrt{5})^2 ( 1 + 5 ) 2 − ( 1 − 5 ) 2 jest równa A. 0 0 0 B. ( − 10 ) (-10) ( − 10 ) C. 4 5 4\sqrt{5} 4 5 D. 2 + 2 5 2 + 2\sqrt{5} 2 + 2 5
Matematyka Specimen 2023 1 pkt zamknięte łatwe (szac.)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Dla każdej liczby rzeczywistej a a a wartość wyrażenia ( 3 + 4 a ) 2 − ( 3 − 4 a ) 2 (3 + 4a)^2 - (3 - 4a)^2 ( 3 + 4 a ) 2 − ( 3 − 4 a ) 2 jest równa A. 32 a 2 32a^2 32 a 2 B. 0 0 0 C. 48 a 48a 48 a D. 8 a 2 8a^2 8 a 2
Matematyka Maj 2022 1 pkt zamknięte łatwe 66%
Liczba ( 2 8 − 3 2 ) 2 (2\sqrt{8}-3\sqrt{2})^2 ( 2 8 − 3 2 ) 2 jest równa A. 2 B. 1 C. 26 D. 14
Matematyka Maj 2022 1 pkt zamknięte łatwe 71%
Dodatnie liczby x x x i y y y spełniają warunek 2 x = 3 y 2x=3y 2 x = 3 y . Wynika stąd, że wartość wyrażenia x 2 + y 2 x ⋅ y \frac{x^2+y^2}{x \cdot y} x ⋅ y x 2 + y 2 jest równa A. \frac{2}{3} B. \frac{13}{6} C. \frac{6}{13} D. \frac{3}{2}
Matematyka Maj 2022 2 pkt otwarte trudne 23%
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a a a i każdej liczby rzeczywistej b b b takich, że b ≠ a b≠a b = a , spełniona jest nierówność a 2 + b 2 2 > ( a + b 2 ) 2 \frac{a^2 + b^2}{2} > \left(\frac{a+ b}{2}\right)^2 2 a 2 + b 2 > ( 2 a + b ) 2
Matematyka Czerwiec 2022 1 pkt zamknięte średnie (szac.)
Dla każdej liczby rzeczywistej a a a wyrażenie 5 − ( 4 + 2 a ) ( 4 − 2 a ) 5-(4+2a)(4-2a) 5 − ( 4 + 2 a ) ( 4 − 2 a ) jest równe A. − 4 a 2 − 16 a − 11 -4a^2-16a-11 − 4 a 2 − 16 a − 11 B. 4 a 2 − 11 4a^2-11 4 a 2 − 11 C. − 4 a 2 − 11 -4a^2-11 − 4 a 2 − 11 D. 4 a 2 + 16 a − 11 4a^2+16a-11 4 a 2 + 16 a − 11
Matematyka Czerwiec 2022 2 pkt otwarte średnie (szac.)
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x x x i każdej liczby rzeczywistej y y y takich, że x ≠ y x \ne y x = y prawdziwa jest nierówność ( 1 5 x + 4 5 y ) 2 < x 2 + 4 y 2 5 \left(\frac{1}{5}x + \frac{4}{5}y\right)^2 < \frac{x^2 + 4y^2}{5} ( 5 1 x + 5 4 y ) 2 < 5 x 2 + 4 y 2
Matematyka Czerwiec 2021 1 pkt zamknięte łatwe (szac.)
Wartość wyrażenia 2 ⋅ ( 2 − 3 ) + 3 ⋅ ( 2 − 3 ) \sqrt{2} \cdot (\sqrt{2} - \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot (\sqrt{2} - \sqrt{3}) 2 ⋅ ( 2 − 3 ) + 3 ⋅ ( 2 − 3 ) jest równa A. 5 − 2 6 5 - 2\sqrt{6} 5 − 2 6 B. 5 5 5 C. 5 + 2 6 5 + 2\sqrt{6} 5 + 2 6 D. − 1 -1 − 1
Matematyka Czerwiec 2021 1 pkt zamknięte łatwe (szac.)
Dla każdej liczby rzeczywistej x x x wyrażenie ( x − 1 ) 2 − ( 2 − x ) 2 (x - 1)^2 - (2 - x)^2 ( x − 1 ) 2 − ( 2 − x ) 2 jest równe A. 2 x − 3 2x - 3 2 x − 3 B. 2 x 2 − 6 x − 3 2x^2 - 6x - 3 2 x 2 − 6 x − 3 C. ( 2 x − 3 ) 2 (2x - 3)^2 ( 2 x − 3 ) 2 D. 9 9 9
Matematyka Czerwiec 2020 2 pkt otwarte trudne 20%
Wykaż, że dla każdych dwóch różnych liczb rzeczywistych a a a i b b b prawdziwa jest nierówność a 2 − a b + b 2 > 0 a^2 - ab + b^2 > 0 a 2 − ab + b 2 > 0 .
Matematyka Dodatkowa 2020 1 pkt zamknięte średnie (szac.)
Liczba ( 2 − 1 ) 2 − 2 2 − 1 (\sqrt{2}-1)^2 - 2\sqrt{2} - 1 ( 2 − 1 ) 2 − 2 2 − 1 jest równa A. 14 − 2 2 14-2\sqrt{2} 14 − 2 2 B. 8 − 14 2 8-14\sqrt{2} 8 − 14 2 C. 2 − 14 2 2-14\sqrt{2} 2 − 14 2 D. 2 2 − 7 − 2 2 ⋅ 2 2\sqrt{2}-7-2\sqrt{2}\cdot 2 2 2 − 7 − 2 2 ⋅ 2
Matematyka Maj 2019 2 pkt otwarte trudne (szac.)
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność a 2 − 3 a b + 3 b 2 ≥ 0 a^2 - 3ab + 3b^2 \geq 0 a 2 − 3 ab + 3 b 2 ≥ 0 .
Matematyka Czerwiec 2019 1 pkt zamknięte łatwe (szac.)
Dla każdej liczby rzeczywistej x x x wyrażenie ( x 2 − 3 x ) − ( 2 x − 3 ) ( 2 x + 3 ) (x^2 - 3x) - (2x - 3)(2x + 3) ( x 2 − 3 x ) − ( 2 x − 3 ) ( 2 x + 3 ) jest po uproszczeniu równe A. − 5 x 2 − 3 x − 5 -5x^2 - 3x - 5 − 5 x 2 − 3 x − 5 B. 5 x 2 − 13 5x^2 - 13 5 x 2 − 13 C. − 5 x 2 − 3 x + 13 -5x^2 - 3x + 13 − 5 x 2 − 3 x + 13 D. 5 x 2 + 5 5x^2 + 5 5 x 2 + 5
Matematyka Czerwiec 2019 4 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
Liczby rzeczywiste x x x i z z z spełniają warunek x + z = 1 x + z = 1 x + z = 1 . Wyznacz takie wartości x x x i z z z , dla których wyrażenie x 2 + z 2 + 7 x z x^2 + z^2 + 7xz x 2 + z 2 + 7 x z przyjmuje największą wartość. Podaj tę największą wartość.
Matematyka Czerwiec 2018 1 pkt zamknięte średnie (szac.)
Dla x = 1 2 + 2 x = \frac{1}{2} + \sqrt{2} x = 2 1 + 2 oraz y = 2 − 1 2 y = \sqrt{2} - \frac{1}{2} y = 2 − 2 1 wartość wyrażenia x 2 − x y + y 2 2 \frac{x^2 - xy + y^2}{2} 2 x 2 − x y + y 2 jest równa A. 4 B. 1 C. \sqrt{2} D. \frac{1}{2}
Matematyka Maj 2017 1 pkt zamknięte średnie 47%
Równość ( x − 2 ) 2 = ( 2 − x ) 2 (x - 2)^2 = (2 - x)^2 ( x − 2 ) 2 = ( 2 − x ) 2 jest A. prawdziwa dla x = − 2 x = -2 x = − 2 . B. prawdziwa dla x = 2 x = 2 x = 2 . C. prawdziwa dla x = − 1 x = -1 x = − 1 . D. fałszywa dla każdej liczby x x x .
Matematyka Czerwiec 2017 1 pkt zamknięte średnie (szac.)
Dla każdej liczby rzeczywistej x x x wyrażenie x 6 − 3 x 3 − 2 x^6 - 3x^3 - 2 x 6 − 3 x 3 − 2 jest równe A. ( x 3 + 2 ) ( x 3 − 1 ) (x^3+2)(x^3-1) ( x 3 + 2 ) ( x 3 − 1 ) B. ( x 3 − 3 ) ( x 3 + 1 ) (x^3-3)(x^3+1) ( x 3 − 3 ) ( x 3 + 1 ) C. ( x 4 + 2 ) ( x 2 − 1 ) (x^4+2)(x^2-1) ( x 4 + 2 ) ( x 2 − 1 ) D. ( x 4 + 1 ) ( x 2 − 3 ) (x^4+1)(x^2-3) ( x 4 + 1 ) ( x 2 − 3 )
Matematyka Czerwiec 2017 2 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
Rozwiąż nierówność ( x − 1 2 ) ( x − 1 2 ) > ( x − 1 3 ) ( x + 1 3 ) \left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right) > \left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x+\frac{1}{3}\right) ( x − 2 1 ) ( x − 2 1 ) > ( x − 3 1 ) ( x + 3 1 ) .
Matematyka Maj 2016 1 pkt zamknięte łatwe 73%
Równość ( a − 2 ) 2 = 17 − 12 2 \left(a - 2\right)^2 = 17 - 12\sqrt{2} ( a − 2 ) 2 = 17 − 12 2 jest prawdziwa dla A. a = 3 a = 3 a = 3 B. a = 1 a = 1 a = 1 C. a = − 2 a = -2 a = − 2 D. a = − 3 a = -3 a = − 3
Matematyka Maj 2016 2 pkt otwarte średnie (szac.)
Ciąg ( a n ) (a_n) ( a n ) jest określony wzorem a n = n 2 + 2 n a_n=n^2+2n a n = n 2 + 2 n dla n ≥ 1 n\geq 1 n ≥ 1 . Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.
Matematyka Czerwiec 2016 1 pkt zamknięte średnie (szac.)
Różnica 50001 2 − 49999 2 50001^2 - 49999^2 5000 1 2 − 4999 9 2 jest równa A. 2 000 000 2\ 000\ 000 2 000 000 B. 200 000 200\ 000 200 000 C. 20 000 20\ 000 20 000 D. 4 4 4
Matematyka Czerwiec 2016 1 pkt zamknięte średnie (szac.)
Najmniejsza wartość wyrażenia ( x − y ) ( x + y ) (x-y)(x+y) ( x − y ) ( x + y ) dla { x , y } ∈ { 2 , 3 , 4 } \{x,y\} \in \{2,3,4\} { x , y } ∈ { 2 , 3 , 4 } jest równa A. 2 2 2 B. − 24 -24 − 24 C. 0 0 0 D. − 12 -12 − 12
Matematyka Czerwiec 2016 2 pkt otwarte trudne (szac.)
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x , y x, y x , y prawdziwa jest nierówność ( x 4 + y 4 + 2 ) ≥ ( x 3 + y 3 + x 2 + y 2 ) (x^4 + y^4 + 2) \geq (x^3 + y^3 + x^2 + y^2) ( x 4 + y 4 + 2 ) ≥ ( x 3 + y 3 + x 2 + y 2 ) .
Matematyka Maj 2015 2 pkt otwarte trudne (szac.)
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x x x i dla każdej liczby rzeczywistej y y y prawdziwa jest nierówność x 2 − 4 x y + 8 y 2 ≥ 5 x^2 - 4xy + 8y^2 \geq 5 x 2 − 4 x y + 8 y 2 ≥ 5 .
Matematyka Czerwiec 2015 1 pkt zamknięte średnie (szac.)
Wyrażenie 3 a 2 − 2 a b + b 2 12 a − 2 b \frac{3a^2-2ab+b^2}{12a-2b} 12 a − 2 b 3 a 2 − 2 ab + b 2 może być przekształcone do postaci A. ( 3 a − b 2 ) 2 \left(\frac{3a-b}{2}\right)^2 ( 2 3 a − b ) 2 B. ( 3 a − 2 b 2 ) 2 \left(\frac{3a-2b}{2}\right)^2 ( 2 3 a − 2 b ) 2 C. ( 3 a − b 2 ) 2 \left(\frac{3a-b}{2}\right)^2 ( 2 3 a − b ) 2 D. ( 3 a − b 2 ) 2 \left(\frac{3a-b}{2}\right)^2 ( 2 3 a − b ) 2
Matematyka Czerwiec 2015 2 pkt otwarte trudne (szac.)
Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x , y x, y x , y prawdziwa jest nierówność 3 x 2 + y 2 − 5 x y + 4 ≥ 0 3x^2 + y^2 - 5xy + 4 \geq 0 3 x 2 + y 2 − 5 x y + 4 ≥ 0 .
Matematyka Specimen 2015 1 pkt zamknięte średnie (szac.)
Wyrażenie 16 − ( 3 x − 1 ) 2 16-(3x-1)^2 16 − ( 3 x − 1 ) 2 jest równe A. ( 3 x − 3 ) ( 5 − 3 x ) (3x-3)(5-3x) ( 3 x − 3 ) ( 5 − 3 x ) B. ( 15 x − 3 ) 2 (15x-3)^2 ( 15 x − 3 ) 2 C. ( 5 − 3 x ) ( 5 − 3 x ) (5-3x)(5-3x) ( 5 − 3 x ) ( 5 − 3 x ) D. 15 − 9 x 2 15-9x^2 15 − 9 x 2