Zadanie 29, czerwiec 2015: matematyka podstawowa

Polecenie

Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $x, y$ prawdziwa jest nierówność $3x^2 + y^2 - 5xy + 4 \geq 0$

Zapisz zadanie

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Dowód (Sposób I):

Przekształcamy nierówność równoważnie:

$3x^2 + y^2 - 5xy + 4 = 4x^2 + 4xy + y^2 - x^2 - 9xy + 4$

Schemat punktowania

1 pkt

zapisze nierówność w postaci równoważnej, np. jako sumę kwadratów (jedno lub więcej), i poprzestanie.

2 pkt

zapisze nierówność w postaci sumy kwadratów i uzasadni jej prawdziwość.

Umiejętności w zadaniu

$= (2x + y)^2 - (x^2 + 2xy + y^2)$

$= (2x + y)^2 - (x + y)^2 + 4 \geq 0$

Albo bardziej bezpośrednio:

$3x^2 + y^2 - 5xy + 4 = (x - y)^2 + 2(x - y)^2 + 2x^2 + 4$

Zastosowanie alternatywne: traktowanie jako nierówność kwadratową względem $x$ , wyróżnik $\Delta = 25y^2 - 12(y^2 + 4) = 25y^2 - 12y^2 - 48 = 13y^2 - 48 \leq 0$ dla pewnych wartości, ale współczynnik przy $x^2$ wynosi 3 > 0, zatem trójmian przyjmuje tylko wartości nieujemne.