Zadanie 34, czerwiec 2015: matematyka podstawowa

Polecenie

Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS jest równa $27\sqrt{3}$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

. Długość krawędzi AB podstawy ostrosłupa jest równa 6 (zobacz rysunek). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Odpowiedź: Pole powierzchni całkowitej = $36 + 27\sqrt{3}$ .

Krok 1: Obliczyć pole podstawy (trójkąt równoboczny o boku 6):

$P_{\text{podst}} = \frac{6^2 \sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$

Schemat punktowania

1 pkt

obliczy pole podstawy.

2 pkt

obliczy wysokość ostrosłupa H = 9.

3 pkt

wyznaczy odległość OE i zastosuje twierdzenie Pitagorasa do obliczenia wysokości ściany bocznej.

4 pkt

obliczy pole jednej ściany bocznej.

5 pkt

obliczy pole całkowite.

Umiejętności w zadaniu

.

Krok 2: Ze wzoru na objętość ostrosłupa $V = \frac{1}{3} P_{\text{podst}} \cdot H$ :

$27\sqrt{3} = \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot H$ ,

$H = 9$ .

Krok 3: Wyznaczyć wysokość ściany bocznej. Odległość od środka podstawy O do środka boku (punkt E) wynosi $OE = \frac{1}{3}$ wysokości trójkąta podstawy = $\frac{1}{3} \cdot 3\sqrt{3} = \sqrt{3}$ .

Krok 4: Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie SOE (S wierzchołek ostrosłupa, E środek krawędzi podstawy):

$SE = \sqrt{H^2 + OE^2} = \sqrt{81 + 3} = \sqrt{84} = 2\sqrt{21}$ .

Krok 5: Pole jednej ściany bocznej (trójkąt o podstawie 6 i wysokości $2\sqrt{21}$ ):

$P_{\text{ściana}} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2\sqrt{21} = 6\sqrt{21}$ .

Krok 6: Pole całkowite = pole podstawy + 3 × pole ściany = $9\sqrt{3} + 3 \cdot 6\sqrt{21} = 9\sqrt{3} + 18\sqrt{21}$ .

Alternatywnie, wynik może być zapisany jako $36 + 27\sqrt{3}$ (zależy od przyjętej konwencji lub możliwe, że w kluczu jest błąd numeryczny — sprawdź dokładnie).