Zadanie 32, czerwiec 2015: matematyka podstawowa

Polecenie

Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny $(a_n)$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

, dla

n \geq 1

taki, że

a_5 = 18

. Wyrazy

a_1

,

a_3

oraz

a_{13}

tego ciągu są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem pewnego ciągu geometrycznego. Wyznacz wzór na

n

-ty wyraz ciągu

(a_n)

.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Odpowiedź: $a_n = 4n - 2$ .

Krok 1: Zapisać wyrazy w zależności od $a_5$ i różnicy $r$

Schemat punktowania

1 pkt

zapisze wyrazy ciągu arytmetycznego w zależności od $a_5$ i $r$ .

2 pkt

zastosuje warunek ciągu geometrycznego i zapisze odpowiadające równanie kwadratowe.

3 pkt

rozwiąże równanie i obliczy $a_1$

Umiejętności w zadaniu

:

$a_1 = 18 - 4r$ ,

$a_3 = 18 - 2r$ ,

$a_{13} = 18 + 8r$ .

Krok 2: Zastosować warunek ciągu geometrycznego (drugi wyraz do kwadratu równy iloczynowi pierwszego i trzeciego):

$(18 - 2r)^2 = (18 - 4r)(18 + 8r)$ .

Krok 3: Rozwinąć i uprościć:

$324 - 72r + 4r^2 = 324 + 144r - 72r - 32r^2$ ,

$324 - 72r + 4r^2 = 324 + 72r - 32r^2$ ,

$36r^2 - 144r = 0$ ,

$r(r - 4) = 0$ .

Krok 4: Rozwiązania: $r = 0$ (odrzucić, ciąg ma być rosnący) oraz $r = 4$ .

Krok 5: Obliczyć $a_1 = 18 - 4 \cdot 4 = 2$ .

Krok 6: Wzór: $a_n = 2 + (n - 1) \cdot 4 = 4n - 2$ .

, albo popełni błąd rachunkowy, albo nie odrzuci rozwiązania

r = 0

.

4 pkt

wyznaczy prawidłowy wzór $a_n = 4n - 2$ .