Matura z matematyki, czerwiec 2015

MatematykaCzerwiec 20151 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 1

Liczba $2^{-\frac{3}{2}}\sqrt{18}$ jest równa A. $2-\frac{3}{2}$ B. $2^{-\frac{1}{2}}$ C. $2^{\frac{1}{2}}$ D. $2^{\frac{3}{2}}$

MatematykaCzerwiec 20151 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 2

Wartość wyrażenia $\frac{2^{-2}\cdot 2^{-\frac{1}{4}}}{32^{\frac{2}{5}}}$ jest równa A. $-\frac{1}{2}$ B. $\frac{1}{2}$ C. $1$ D. $-1$

MatematykaCzerwiec 20151 pktzamkniętełatwe (szac.)

Zadanie 3

Przy 23-procentowej stawce podatku VAT cena brutto samochodu jest równa 45 018 zł. Jaka jest cena netto tego samochodu? A. 34 663,86 zł B. 36 600 zł C. 44 995 zł D. 55 372,14 zł

MatematykaCzerwiec 20151 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 4

Wyrażenie $\frac{3a^2-2ab+b^2}{12a-2b}$ może być przekształcone do postaci A. $\left(\frac{3a-b}{2}\right)^2$ B. $\left(\frac{3a-2b}{2}\right)^2$ C. $\left(\frac{3a-b}{2}\right)^2$ D. $\left(\frac{3a-b}{2}\right)^2$

MatematykaCzerwiec 20151 pktzamkniętełatwe (szac.)

Zadanie 5

Para liczb $x=2$ i $y=1$ jest rozwiązaniem układu równań $\begin{cases}5x+ay=3\\x-y=2\end{cases}$, gdy A. $a=-3$ B. $a=-2$ C. $a=2$ D. $a=3$

MatematykaCzerwiec 20151 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 6

Równanie $2x^2+11x+3=0$ A. nie ma rozwiązań rzeczywistych. B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste. C. ma dwa dodatnie rozwiązania rzeczywiste. D. ma dwa ujemne rozwiązania rzeczywiste.

MatematykaCzerwiec 20151 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 7

Wartość wyrażenia $\sin 120°-\cos 30°$ jest równa A. $\sin 90°$ B. $\sin 150°$ C. $\sin 0°$ D. $\sin 60°$

MatematykaCzerwiec 20151 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 8

Wyrażenie $\frac{3\sin^3\alpha+\cos^3\alpha}{3\sin\alpha+\cos\alpha}$ może być przekształcone do postaci A. $3$ B. $3\sin\alpha\cos\alpha$ C. $\frac{3\sin^3\alpha}{\cos^3\alpha}$ D. $\frac{6\sin^4\alpha}{\cos^4\alpha}$

MatematykaCzerwiec 20151 pktzamkniętełatwe (szac.)

Zadanie 9

Na rysunku przedstawiony jest fragment prostej o równaniu $y=ax+b$ przechodzącej przez punkty $(0,-2)$ i $(6,2)$. Wtedy A. $a=\frac{2}{3}, b=-2$ B. $a=3, b=-2$ C. $a=\frac{2}{3}, b=2$ D. $a=-3, b=2$

• Materiał graficzny

MatematykaCzerwiec 20151 pktzamkniętełatwe (szac.)

Zadanie 10

Prosta $k$ przecina oś $Oy$ układu współrzędnych w punkcie $(0,6)$ i jest równoległa do prostej o równaniu $y=-3x$. Wówczas prosta $k$ przecina oś $Ox$ układu współrzędnych w punkcie A. $(-12,0)$ B. $(-2,0)$ C. $(2,0)$ D. $(6,0)$

MatematykaCzerwiec 20151 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 11

Liczba niewymiernych rozwiązań równania $(x^2+5)(x^2-2)(x-3)(x-7)=0$ jest równa A. $0$ B. $1$ C. $5$ D. $2$

MatematykaCzerwiec 20151 pktzamkniętełatwe (szac.)

Zadanie 12

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$. Funkcja $f$ jest rosnąca w przedziale A. $\langle -1,1\rangle$ B. $\langle 1,5\rangle$ C. $\langle 5,6\rangle$ D. $\langle 6,8\rangle$

• Materiał graficzny

MatematykaCzerwiec 20151 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 13

Ciąg geometryczny $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n=2^n$ dla $n\geq 1$. Suma dziesięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa A. $(2^{10}-1)\cdot 2$ B. $(2^{10}-1)\cdot (-2)$ C. $(2^{10}+1)\cdot 2$ D. $(2^{10}-1)\cdot 2$

MatematykaCzerwiec 20151 pktzamkniętełatwe (szac.)

Zadanie 14

Suma pierwszego i szóstego wyrazu pewnego ciągu arytmetycznego jest równa 13. Wynika stąd, że suma trzeciego i czwartego wyrazu tego ciągu jest równa A. $13$ B. $12$ C. $7$ D. $6$

MatematykaCzerwiec 20151 pktzamkniętełatwe (szac.)

Zadanie 15

Miary kątów wewnętrznych pewnego trójkąta pozostają w stosunku $3:4:5$. Najmniejszy kąt wewnętrzny tego trójkąta ma miarę A. $45°$ B. $90°$ C. $75°$ D. $60°$

MatematykaCzerwiec 20151 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 16

W trójkącie $ABC$, w którym $AC=BC$, na boku $AB$ wybrano punkt $D$ taki, że $BD=CD$ oraz $\angle ACD=21°$ (zobacz rysunek). Wynika stąd, że kąt $\angle BCD$ ma miarę A. $57°$ B. $53°$ C. $51°$ D. $55°$

• Materiał graficzny

MatematykaCzerwiec 20151 pktzamkniętełatwe (szac.)

Zadanie 17

Długości boków trójkąta są liczbami całkowitymi. Jeden bok ma 7 cm, a drugi ma 2 cm. Trzeci bok tego trójkąta może mieć długość A. $12$ cm B. $9$ cm C. $6$ cm D. $3$ cm

MatematykaCzerwiec 20151 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 18

Boki trójkąta mają długości 20 i 12, a kąt między tymi bokami ma miarę $120°$. Pole tego trójkąta jest równe A. $60$ B. $120$ C. $60\sqrt{3}$ D. $120\sqrt{3}$

MatematykaCzerwiec 20151 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 19

Tworząca stożka o promieniu podstawy 3 ma długość 6 (zobacz rysunek). Kąt $\alpha$ rozwarcia tego stożka jest równy A. $30°$ B. $45°$ C. $60°$ D. $90°$

• Materiał graficzny

MatematykaCzerwiec 20151 pktzamkniętełatwe (szac.)

Zadanie 20

Graniastosłup o podstawie ośmiokąta ma dokładnie A. $16$ wierzchołków. B. $9$ wierzchołków. C. $16$ krawędzi. D. $8$ krawędzi.

MatematykaCzerwiec 20151 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 21

W ostrosłupie czworokątnym, w którym wszystkie krawędzie mają tę samą długość, kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy ma miarę A. $30°$ B. $45°$ C. $60°$ D. $75°$

MatematykaCzerwiec 20151 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 22

Liczba $0{,}3$ jest jednym z przybliżeń liczby $\frac{5}{16}$. Błąd względny tego przybliżenia, wyrażony w procentach, jest równy A. $4\%$ B. $0{,}04\%$ C. $2{,}5\%$ D. $0{,}025\%$

MatematykaCzerwiec 20151 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 23

Średnia arytmetyczna zestawu danych: $2, 4, 7, 8, x$ jest równa $n$, natomiast średnia arytmetyczna zestawu danych: $2, 4, 7, 8, x, 2x$ jest równa $2n$. Wynika stąd, że A. $x=49$ B. $x=21$ C. $x=14$ D. $x=7$

MatematykaCzerwiec 20151 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 24

Ile jest wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez 6 i niepodzielnych przez 9? A. $6$ B. $10$ C. $12$ D. $15$

MatematykaCzerwiec 20151 pktzamknięteśrednie (szac.)

Zadanie 25

Na loterię przygotowano pulę 100 losów, w tym 4 wygrywające. Po wylosowaniu pewnej liczby losów, wśród których był dokładnie jeden wygrywający, szansa na wygraną była taka sama jak przed rozpoczęciem loterii. Stąd wynika, że wylosowano A. $4$ losy. B. $20$…

MatematykaCzerwiec 20152 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 26

Rozwiąż nierówność $\frac{2}{3}x - \frac{x^2}{9} \leq -3$.

MatematykaCzerwiec 20152 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 27

Rozwiąż równanie $x(x^2 - 2x - 3) = 0$.

MatematykaCzerwiec 20152 pktotwarteśrednie (szac.)

Zadanie 28

Czworokąt ABCD wpisano w okrąg tak, że bok AB jest średnicą tego okręgu (zobacz rysunek). Udowodnij, że $AC^2 + BC^2 = BD^2 + AD^2$.

• Materiał graficzny

MatematykaCzerwiec 20152 pktotwartetrudne (szac.)

Zadanie 29

Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $x, y$ prawdziwa jest nierówność $3x^2 + y^2 - 5xy + 4 \geq 0$.

MatematykaCzerwiec 20152 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 30

Funkcja kwadratowa $f$ dla $x = -3$ przyjmuje wartość największą równą 4. Do wykresu funkcji $f$ należy punkt $A = (-1, 3)$. Zapisz wzór funkcji kwadratowej $f$.

MatematykaCzerwiec 20152 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 31

Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych losowo wybieramy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że otrzymamy liczbę podzielną przez 8 lub liczbę podzielną przez 12.

MatematykaCzerwiec 20154 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 32

Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny $(a_n)$, dla $n \geq 1$ taki, że $a_5 = 18$. Wyrazy $a_1$, $a_3$ oraz $a_{13}$ tego ciągu są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem pewnego ciągu geometrycznego. Wyznacz wzór na $n$-ty wyraz ciągu…

MatematykaCzerwiec 20154 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 33

Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym $AC = BC$. Ponadto wiadomo, że $A = (-2, 4)$ i $B = (6, -2)$. Wierzchołek C należy do osi Oy. Oblicz współrzędne wierzchołka C.

MatematykaCzerwiec 20155 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 34

Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS jest równa $27\sqrt{3}$. Długość krawędzi AB podstawy ostrosłupa jest równa 6 (zobacz rysunek). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

• Materiał graficzny