Zadanie 28, maj 2019: matematyka podstawowa

Polecenie

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność $a^2 - 3ab + 3b^2 \geq 0$

Zapisz zadanie

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Przekształcamy równoważnie nierówność: $a^2 - 3ab + 3b^2 \geq 0$ , czyli $a^2 - 2ab + ab + 3b^2 \geq 0$

Schemat punktowania

2 pkt

przeprowadzi pełne rozumowanie.

1 pkt

zapisze nierówność w postaci, zawierającej po jednej stronie 0, a po drugiej sumę wyrażeń algebraicznych, będących wielokrotnościami kwadratów liczb lub stanowiących jedną stronę wzoru skróconego mnożenia, którego druga strona jest kwadratem; zapisze oszacowanie $a^2 - 3ab + 3b^2 \geq a^2 - 3ab + 3b^2$

Komentarz

Jeżeli zdający zakończy rozumowanie, zapisując nierówność $(a - b)^2 + 2ab + 2b^2 \geq 0$ lub $(a - \frac{3b}{2})^2 + \frac{8b^2}{9} \geq 0$

Umiejętności w zadaniu

Wzory skróconego mnożenia Ćwicz podobne

, czyli

(a - b)^2 + ab + 2b^2 \geq 0

. Alternatywnie:

a^2 - 3ab + 3b^2 = (a - \frac{3b}{2})^2 + \frac{3b^2}{4} \geq 0

. Alternatywnie: wyróżnik trójmianu

\Delta = 9b^2 - 12b^2 = -3b^2 \leq 0

, więc trójmian przyjmuje wartości nieujemne.

; obliczy wyróżnik trójmianu kwadratowego w zależności od zmiennej a lub b i stwierdzi, że jest on niedodatni; rozważa dwa przypadki; wskaże, że przeprowadza dowód nie wprost i zapiszę nierówność

a^2 - 3ab + 3b^2 < 0

i przedstawi komentarz uzasadniający sprzeczność.

i nie przedstawi komentarza uzasadniającego przyjmowanie wyłącznie nieujemnych wartości przez wyrażenie zapisane po lewej stronie nierówności, to otrzymuje 1 punkt.