Zadanie 34, maj 2019: matematyka podstawowa

Polecenie

Długość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 6. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy.

Kąt $\alpha$ jest kątem nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy (zobacz rysunek). Oblicz cosinus kąta

Zapisz zadanie

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

\alpha

.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

$\cos\alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}$

Schemat punktowania

1 pkt

zapisze zależność pomiędzy polami (np. $P_b = 3P_p$ lub $P_ś = \frac{3}{4}P_p$

Komentarz

Jeśli zdający popełni błędy rachunkowe, które nie przekreślają poprawności rozumowania, może otrzymać co najwyżej 4 punkty. Niepoprawne zastosowanie wzoru na pole trójkąta, twierdzenia Pitagorasa, definicji funkcji trygonometrycznej lub przyjęcie błędnych zależności między polami może obniżyć wynik maksymalnie do 3 punktów.

Umiejętności w zadaniu

Pole podstawy: $P_p = 36$

Pole całkowite: $P_c = 144$

Pole boczne: $P_b = 108$

Z czterech przystających trójkątów bocznych: $4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot h_b = 108$ , stąd $h_b = 9$

Diagonala podstawy: $AC = 6\sqrt{2}$ , zatem $AO = 3\sqrt{2}$

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $BES$ (gdzie $E$ to środek boku podstawy, $S$ to wierzchołek): $b^2 = 3^2 + 9^2 = 90$ , stąd $b = 3\sqrt{10}$

Z trójkąta $AOS$ : $\cos\alpha = \frac{AO}{AS} = \frac{3\sqrt{2}}{3\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

), albo obliczy pole boczne

P_b = 108

, albo obliczy długość przekątnej podstawy

AC = 6\sqrt{2}

lub

AO = 3\sqrt{2}

, albo zapisze

\cos\alpha = \frac{AO}{AS}

.

2 pkt

zapisze równanie pozwalające obliczyć wysokość ściany bocznej: $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 \cdot h_b = 108$ .

3 pkt

obliczy wysokość ściany bocznej: $h_b = 9$ .

4 pkt

obliczy długość krawędzi bocznej: $b = 3\sqrt{10}$ , albo obliczy $\tan\alpha$ .

5 pkt

obliczy $\cos\alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}$ .