Zadanie 31, maj 2019: matematyka podstawowa

Polecenie

W trapezie prostokątnym ABCD dłuższa podstawa AB ma długość 8. Przekątna AC tego trapezu ma długość 4 i tworzy z krótszą podstawą trapezu kąt o mierze $30°$ (zobacz rysunek).

Oblicz długość przekątnej BD tego trapezu.

Zapisz zadanie

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Z warunku wynika, że w trójkącie ABC: $|AC| = 4$ , $\angle ACB = 30°$ , zatem $|AB| = |AC| \sin 30° = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$

Schemat punktowania

2 pkt

obliczy poprawnie długość przekątnej BD.

1 pkt

obliczy poprawnie długości niektórych boków trapezu, ale dalej popełni błędy lub nie wyznaczy długości przekątnej BD.

Umiejętności w zadaniu

. Błąd: powinno być

|BC| = |AC| \sin 30° = 2

. Z warunku wynika, że

|AB| = 8

, zatem

|AC| \cos 30° = 8

, czyli

4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \neq 8

. Poprawne:

\sin(\angle CAB) = \frac{|BC|}{4} = \frac{1}{2}

, zatem

\angle CAB = 30°

. Stąd

|BC| = 2

i

|AB| = 4 \cos 30° = 2\sqrt{3}

. Błąd: niezgodne z

|AB| = 8

. Poprawnie:

\angle BCA = 30°

,

|AC| = 4

, zatem

|AB| = 4 \sin 30° = 2

. Ale

|AB| = 8

— niezgodnie. Reinterpretacja: kąt między AC a CD wynosi 30°. Wtedy

|AD| = 4 \sin 30° = 2

,

|CD| = 4 \cos 30° = 2\sqrt{3}

. Ponieważ ABCD to trapez prostokątny, to

|BD|^2 = |AB|^2 + |AD|^2 = 64 + 4 = 68

, czyli

|BD| = 2\sqrt{17}

. Alternatywnie — szukamy prawidłowej interpretacji rysunku.