Zadanie 32, maj 2019: matematyka podstawowa

Polecenie

Ciąg arytmetyczny $(a_n)$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

jest określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

. Różnicą tego ciągu jest liczba

r = -4

, a średnia arytmetyczna początkowych sześciu wyrazów tego ciągu:

a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6

jest równa 16.

a) Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

b) Oblicz liczbę k, dla której $a_k = -78$ .

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

a) Średnia arytmetyczna wyrazów: $\frac{a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6}{6} = 16$

Schemat punktowania

4 pkt

obliczy poprawnie wartość $a_1$ i liczbę k.

3 pkt

obliczy poprawnie wartość $a_1$ i ustawi poprawnie równanie do wyznaczenia k, ale popełni błąd w obliczeniu k, albo obliczy poprawnie liczbę k, ale w wyniku obliczeń $a_1$

Umiejętności w zadaniu

Ciąg arytmetyczny – wzory Ćwicz podobne

, czyli

a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = 96

. Wyrażamy wyrazy przez

a_1

i

r = -4

:

a_1 + (a_1 - 4) + (a_1 - 8) + (a_1 - 12) + (a_1 - 16) + (a_1 - 20) = 96

, czyli

6a_1 - 60 = 96

, stąd

a_1 = 26

.

b) Wyraz ogólny: $a_k = a_1 + (k-1)r = 26 + (k-1)(-4) = 26 - 4k + 4 = 30 - 4k$ . Szukamy k takiego, że $a_k = -78$ : $30 - 4k = -78$ , czyli $-4k = -108$ , stąd $k = 27$ .

popełni błąd w jednym miejscu.

2 pkt

zapisze warunek pozwalający obliczyć $a_1$ (np. sumę wyrazów równą 96 lub średnią arytmetyczną), ale dalej popełni błędy, albo obliczy poprawnie $a_1$ i na tym zakończy, albo obliczy poprawnie k i na tym zakończy.

1 pkt

zapisze poprawnie warunki zadania (np. średnią arytmetyczną), ale nie będzie w stanie ich rozwiązać, albo popełni błędy na wstępnym etapie.