Zadanie 31, maj 2022: matematyka podstawowa

Polecenie

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $a$ i każdej liczby rzeczywistej $b$ takich, że $b≠a$

Zapisz zadanie

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

, spełniona jest nierówność

$\frac{a^2 + b^2}{2} > \left(\frac{a+ b}{2}\right)^2$

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Przekształcamy nierówność:

$\frac{a^2 + b^2}{2} > \frac{(a+b)^2}{4}$

Schemat punktowania

2 pkt

poprawne wykazanie nierówności przez przekształcenia równoważne lub sprowadzenie do postaci $(a-b)^2 > 0$ z uzasadnieniem.

Komentarz

Akceptowane są wszystkie rozwiązania merytorycznie poprawne wykazujące nierówność. Zdający może przeprowadzić dowód od twardzenia (od lewej do prawej strony) lub poprzez równoważne przekształcenia.

Umiejętności w zadaniu

Wzory skróconego mnożenia Ćwicz podobne

Mnożymy obustronnie przez 4: $2(a^2 + b^2) > (a+b)^2$

$2a^2 + 2b^2 > a^2 + 2ab + b^2$

$a^2 - 2ab + b^2 > 0$

$(a - b)^2 > 0$

Co jest prawdą dla każdego $a ≠ b$ .