Zadanie 35, maj 2022: matematyka podstawowa

Polecenie

Wykres funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f(x) = ax^2 + bx + c$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

ma z prostą o równaniu

y = 6

dokładnie jeden punkt wspólny. Punkty

A = (−5, 0)

i

B = (3, 0)

należą do wykresu funkcji

f

. Oblicz wartości współczynników

a

,

b

oraz

c

.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

$a = -\frac{3}{8}$ , $b = -\frac{3}{4}$

Schemat punktowania

1 pkt

zapisanie wzoru funkcji w postaci $f(x) = a(x + 5)(x − 3)$ lub podanie odciętej wierzchołka $p = −1$

Komentarz

Typowe błędy: niedocenienie, że warunek styku z prostą $y = 6$ oznacza $q = 6$ ; błędy w obliczeniu współrzędnych wierzchołka; zapisanie równania $0 = a(3 − 1)^2 + 6$

Umiejętności w zadaniu

,

c = \frac{45}{8}

Ponieważ punkty $A = (−5, 0)$ i $B = (3, 0)$ należą do wykresu, pierwiastkami trójmianu są $x_1 = −5$ oraz $x_2 = 3$ . Stąd $f(x) = a(x + 5)(x − 3)$ .

Odcięta wierzchołka: $p = \frac{-5 + 3}{2} = -1$ .

Parabola ma z prostą $y = 6$ dokładnie jeden punkt wspólny, zatem rzędna wierzchołka: $q = 6$ .

Podstawiając współrzędne wierzchołka: $6 = a(−1 + 5)(−1 − 3) = −16a$ , stąd $a = -\frac{3}{8}$ .

Rozkład: $f(x) = -\frac{3}{8}(x + 5)(x − 3) = -\frac{3}{8}x^2 - \frac{3}{4}x + \frac{45}{8}$ .

Alternatywnie: forma kanoniczna $f(x) = a(x + 1)^2 + 6$ , podstawienie $f(3) = 0$ daje $a = -\frac{3}{8}$ ; lub układ trzech równań z warunków $f(−5) = 0$ , $f(3) = 0$ , $q = 6$ .

lub rzędnej wierzchołka

q = 6

, lub zapisanie jednego warunku wynikającego z treści (np.

a \cdot (−5)^2 + b \cdot (−5) + c = 0

lub

6 = -\frac{b^2 − 4ac}{4a}

lub

-\frac{b}{a} = −2

lub

\frac{c}{a} = −15

).

2 pkt

zapisanie wzoru w postaci iloczynowej i warunku na rzędną wierzchołka, lub wzoru kanonicznego $f(x) = a(x + 1)^2 + 6$ , lub obu współrzędnych wierzchołka $p = −1$ , $q = 6$ , lub układ dwóch równań (jedno z wymogu $q = 6$ , drugie z warunku pierwiastka lub wierzchołka).

3 pkt

zapisanie równania z jedną niewiadomą (np. $6 = a(−1 + 5)(−1 − 3)$ ), lub całego układu trzech niezależnych równań, lub uzależnienie współczynników od $a$ z podaniem współrzędnych wierzchołka, lub zapisanie postaci $f(x) = ax^2 + 2ax − 15a$ z wierzchołkiem, lub postaci iloczynowej z wyróżnikiem $\Delta = 64a^2$ i $q = 6$ , lub równania $a(x + 5)(x − 3) − 6 = 0$ .

4 pkt

obliczenie $a = -\frac{3}{8}$ (w formie iloczynowej lub kanonicznej), lub poprawne obliczenie dokładnie dwóch spośród trzech współczynników, lub obliczenie wszystkich trzech z błędami rachunkowymi.

5 pkt

obliczenie wszystkich trzech współczynników: $a = -\frac{3}{8}$ , $b = -\frac{3}{4}$ , $c = \frac{45}{8}$ .

lub

0 = a(−5 − 1)^2 + 6

(błędne odległości od wierzchołka) – takie rozwiązanie przeprowadzone konsekwentnie daje 3 pkt.