Zadanie 28, czerwiec 2016: matematyka podstawowa

Polecenie

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $x, y$ prawdziwa jest nierówność $(x^4 + y^4 + 2) \geq (x^3 + y^3 + x^2 + y^2)$

Zapisz zadanie

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

I sposób: Zapiszmy nierówność w postaci równoważnej:

$x^4 + y^4 + 2 - x^3 - y^3 - x^2 - y^2 \geq 0$

Schemat punktowania

1 pkt

zapisanie nierówności w postaci sumy kwadratów z popełnieniem błędów w uzasadnieniu.

2 pkt

zapisanie wyrażenia w postaci sumy nieujemnych składników i sformułowanie wniosku.

Komentarz

Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny.

Umiejętności w zadaniu

$(x^2(x-1) - x + 1) + (y^2(y-1) - y + 1) \geq 0$

$(x^2 - x)(x - 1) + (y^2 - y)(y - 1) \geq 0$

co można zapisać jako $(x(x-1))^2 + (y(y-1))^2 \geq 0$ , czyli $(x^2-x)^2 + (y^2-y)^2 \geq 0$ .

II sposób: $(x^2-x)(x^2-1) + (y^2-y)(y^2-1) \geq 0$ , czyli $x^2(x-1)(x-1)(x+1) + y^2(y-1)(y-1)(y+1) \geq 0$ , co można zapisać jako iloczyn liczb nieujemnych.