Zadanie 30, czerwiec 2016: matematyka podstawowa

Polecenie

W trójkącie ABC dane są długości boków $|AB| = 15$ i $|AC| = 12$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

oraz

\cos \alpha = \frac{4}{5}

, gdzie

\alpha = \angle BAC

. Na bokach AB i AC tego trójkąta obrano punkty odpowiednio D i E takie, że

|AD| = \frac{1}{3}|AB|

i

|AE| = \frac{2}{3}|AC|

(zobacz rysunek).

Oblicz pole

a) trójkąta ADE.

b) czworokąta BCED.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

a) Pole trójkąta ADE: $P_{ADE} = 12$

b) Pole czworokąta BCED: $P_{BCED} = 42$

Schemat punktowania

1 pkt

obliczenie sinusa kąta BAC: $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ albo długości jednego z odcinków AD, AE oraz na tym poprzestanie, lub dalej popełnianie błędów.

2 pkt

obliczenie pola trójkąta ABC: $P = 54$

Komentarz

Jeśli zdający rozwiązuje zadanie z wykorzystaniem faktu, że rozważany trójkąt jest prostokątny i nie przedstawia uzasadnienia tego faktu, to może otrzymać maksymalną liczbę punktów.

Umiejętności w zadaniu

Rozwiązanie:

Z warunku $|AD| = \frac{1}{3}|AB| = \frac{1}{3} \cdot 15 = 5$ oraz $|AE| = \frac{2}{3}|AC| = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8$ .

Z jedynki trygonometrycznej: $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$ , więc $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ .

Pole trójkąta ABC: $P_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 12 \cdot \sin \alpha = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 12 \cdot \frac{3}{5} = 54$ .

Pole trójkąta ADE: $P_{ADE} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot \sin \alpha = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{3}{5} = 12$ .

Pole czworokąta BCED: $P_{BCED} = P_{ABC} - P_{ADE} = 54 - 12 = 42$ .

albo obliczenie sinusa i długości obu odcinków oraz na tym poprzestanie, lub obliczenie wysokości trójkąta ADE.

3 pkt

obliczenie pola trójkąta ADE: $P = 12$ .

4 pkt

obliczenie pola czworokąta BCED: $P = 42$ .